Задачи с лица (10 клас)

[Waahaa]

1.Катетите на правоъгълен триъгълник са а и b. Страните му служат за страни на квадрати, построени вън от триъгълника.Да се намери лицето на триъгълника с върхове центровете на тези квадтрати.

2.Даден е ▲ със страна C и прилежащи на нея [tex]\angle[/tex] 30[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex] 45[tex]^\circ[/tex] Да се намери лицето му.

Трябват ми спешно ако може малко по подробно

[Реклама]

[Ma6irinata]

Зад.2 :
Нека [tex]CD\bot AB (D\in AB) , [/tex] и BD=x.
Тогава триъгълник BDC е правоъгълен равнобедрен => [tex]BC = \sqrt{2}x.[/tex] .
Триъгълник ADC е правоъгълен с ъгъл [tex]30 ^\circ [/tex] => AC = 2x .
Косинусова теорема за триъгълник ABC :

[tex]AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2.AC.BC.cos \angle ACB .[/tex]

[tex]c^{2} = 4x^{2} + 2x^{2} - 2\sqrt{2}x^{2}.cos 105^\circ [/tex]

[tex]c^{2} = 6x^{2} - 2\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}.(\frac{1-\sqrt{3}}{2}) [/tex] .

(cos 105 = cos (60+45).)

[tex]c^{2} = (\sqrt{3} + 5)x^{2} . [/tex]

[tex]x=\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3} + 5)}}. c [/tex]

[tex]S_{ABC} = \frac{AB.CD}{2} = \frac{c.x}{2} = \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{3} + 5)}} . c^{2} [/tex] .

Само ме човърка мисълта дали това може да се рационализира ...

[martosss]

Мой човек, защо си утежняваш така живота - Жълти четиризначни математически таблици, 81-ва страница - [tex]S_\Delta =\frac{c^2sin\alp sin\be }{2sin\gam }[/tex] Знаеш трите ъгъла и страна... какъв ти е проблема?

Аз получавам [tex]S_\Delta =\frac{c^2(\sqrt{3}-1)}{4}[/tex]

[martosss]

По 1)

Вариант | Може да направиш така - свързваш центровете на квадратите К,М, О със ъглите на ▲АВС(К - ц. на квадрата през АВ, М - ц. на квадрата през ВС, О - АС)

Ето ти едно малко чертежче...

Първо намираш половинките от диагоналите на квадратите - [tex]AO=CO=\frac{a}{\sqrt{2}},\: BM=MC=\frac{b}{\sqrt{2}},\: AK=KB=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}}[/tex]

Сега [tex]\angle KAO=90+\alp,\: \angle KBC=90+\be ,\: \angle MCO=180^\circ [/tex]

от тук директно [tex]MO=MC+OC=\frac{a+b}{\sqrt{2}}[/tex].
Прилагаш Косинусова теорема за КО в ▲АКО:

[tex]KO=\sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}}\right)^2-\cancel 2\frac{a}{\cancel {\sqrt{2}}}*\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\cancel {\sqrt{2}}}*\underbrace{cos(90^\circ +\al )}_{-sin\alp }}\; =\; \sqrt{\frac{2a^2+b^2}{2}+a*\cancel {\sqrt{a^2+b^2}}*\frac{b}{\cancel {\sqrt{a^2+b^2}}} }=\sqrt{\frac{a^2+(a+b)^2}{2}}[/tex]

Сега косинусова теорема за КМ в ▲КВМ:

[tex]KM=\sqrt{\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}}\right)^2-\cancel 2*\frac{b}{\cancel {\sqrt{2}}}*\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\cancel {\sqrt{2}}}*\underbrace{cos(90^\circ +\beta) }_{-sin\be }}\; =\; \sqrt{\frac{a^2+2b^2}{2}+b*\cancel {\sqrt{a^2+b^2}}*\frac{a}{\cancel {\sqrt{a^2+b^2}}}}=\sqrt{\frac{b^2+(a+b)^2}{2}[/tex]

Сега колкото и иронично да звучи една Херонова формула за ▲KMO и си готов, тоест [tex]S_{KMO}=\sqrt{p(p-KM)(p-MO)(p-KO)} [/tex]



П.П.

Вариант || Сетих се за по-лесен начин - намираш лицето на КВМСОА, то е сбор от лицата на 4 триъгълника..(получавам че е [tex]\frac{a^2+b^2+ab}{2}[/tex]) после от това лице вадиш лицата на КВМ и КАО и получаваш отговора

Аз получих че лицето е [tex]\frac{(a+b)^2}{4}[/tex]

[MathRullz]

задачите са много добри в прочем голяма играчка са по писане благодария ще помогнат.

[ганка симеонова]