Втора примерна зад.10 за СУ

[2sxy4u]

През две различни и симетрични точки от графиката на f(x)=1-x² са прекарани допирателни към графиката. Да се намери възможно най-малкото лице на триъгълника , образуван от тези допирателни и абсцисната ос.

[Реклама]

[ганка симеонова]

нека допирната точка означим с Т. тъй, като имаме симетрия, относно ордината, ще разгледам само дясната страна, за положителните х.
нека уравнението на допирателната ВА ( направих един смешен чертеж) е

[tex] y=kx+n [/tex]

[tex] f^{'}(x)=-2x [/tex] нека първата координата на допирната точка означим с [tex] x_{0} [/tex]

от геометричния смисъл на производната, следва че [tex] k=-2x_{0}[/tex]

втората координата на Т е [tex] 1-x_{0}^{2} [/tex] и понеже правата минава през тази точка, нейните координати ще удовлетворяват уравнението на допирателната =>

[tex] 1-x_{0}^{2}=-2x_{0}x +n =>n=x_{0}^{2}+1 => [/tex]

[tex] y=-2x_{0}x+x_{0}^{2}+1 [/tex]

тази допирателна минава и през точката А, която има втора координата 0 =>


[tex] OA=\frac{x_{0}^{2}+1}{ 2x_{0}} [/tex]

понеже минава и през т. В => [tex] OB=x_{0}^{2}+1 [/tex]

[tex] S_{AOB}=0,5OA.OB=\frac{(x_{0}^{2}+1)^{2}}{2x_{0} } [/tex]

остава да разгледаме получената ф-я и да намерим най- малката и стойност, която се достига за [tex] x_{0}=\sqrt{\frac{2}{ 3} } [/tex]

[nikolavp]

Имам въпрос:
и аз веднага видях, че образуваният триъгълник е равнобедрен, защото нещата са супер симетрични . Аз почти направих задачата, но се насметох на частта, в която трябва да се докаже, че тия двете прави се пресичат в точка от ординатната ос. Можеш ли да изясниш защо е така? Иначе казано - защо B е с координати [tex](0;Y_{B})[/tex], благодаря.

[ганка симеонова]

ако съставиш уравнението на лявата допирателна, по аналогичен начин, ще видиш, че то е :

[tex] y=2x_{0}x+x_{0}^{2}+1 [/tex]

тогава като приравниш изразите на двете допирателни, за да намериш общата има точка, получаваш уравннението;

[tex] 2x_{0}x+x_{0}^{2}+1=-2x_{0}x+x_{0}^{2}+1 =>x_{0}=0 [/tex]

това е точно точка В, защото тя е с нулева първа координата

[simon_kazakov]

Един въпрос и от мен. В справочника за ТУ има уравнението на права, допирателна към функция. [tex]g(x) = f'(x).x + f(x)[/tex]. Може ли да се използва директно тази формула на изпит в СУ или трябва да я извеждаме ?

[ганка симеонова]

можеш

[Who_cares123456]

не е ли [tex]g(x)=(x-x_0)f'(x_0)+f(x_0)[/tex] допирателната в [tex]x_0[/tex]

[ганка симеонова]

да, така е

[Who_cares123456]

[ганка симеонова]

а,аз ще напиша, че не знам никакви формули наизуст
ако си забелязал, в задачите, свързани с допирателни, всеки път си извеждах уравненията им

[nikolavp]

[ганка симеонова]

НОМЕРЪТ е да ги помниш!

НАДНОМЕРЪТ- да умееш, да ги извеждаш!