ъгли?

[ганка симеонова]

В равнобедрения триъгълник АВС (АС=ВС), Н е петата на височината, спусната от върха С, а М е средата на ВС. Окръжността вписана в триъгълник НМС се допира до страните му НМ и СМ в точки К и L. Да се намерят ъглите на триъгълника АВС, ако AC=4KL.

[Реклама]

[martosss]

Означаваме [tex]LK=x,\; AC=BC=4x,\; \angle ACH=\alpha[/tex].
Имаме [tex]AC=BC \Right \; \Delta ABC\; -\; [/tex]равнобедрен, но СН - височина => CH - ъглополовяща => [tex]\angle ACH\; =\; \angle BCH\; =\; \alpha[/tex]
От ▲АНС имаме [tex]CH=AC*cos\alpha =4xcos\alpha[/tex].
[tex]MH[/tex] - медиана в правоъгълния триъгълник НВС => [tex]MH=\frac{1}{2}BC=2x[/tex].
[tex]k[/tex] - вписана в [tex]\Delta HMC => ML=KM=\frac{MC+MH-CH}{2}=\frac{4x(1-cos\alpha)}{2}=2x(1-cos\alpha)[/tex]
сега имаме [tex]KM=LM[/tex] и [tex]HM=MC[/tex] => [tex]\frac{ML}{MC}=\frac{MK}{MH}[/tex] => [tex]HC||KL[/tex](от Талес) => [tex]\angle KLM=\angle HCM=\alpha.[/tex]
Сега в [tex]\delta KML[/tex] прилагаме Косинусовата теорема за [tex]KM[/tex]:

[tex]KM^2=KL^2+ML^2-2KM*KL*cos\angle KLM[/tex].

[tex]x^2=2*x*2x(1-cos\alpha )*cos\alpha[/tex].

[tex] cos^2\alpha-cos\alpha+\frac{1}{4}=0[/tex].

[tex](cos\alpha-\frac{1}{2})^2=0[/tex], но [tex]\alpha\in \left(0;90^\circ \right)\Right [/tex]

[tex]\alpha=60^\circ \angle AHC=\angle BCH=60^\circ \Right \angle ACB=120^\circ ,\angle BAC=\angle ABC=\frac{180^\circ -120^\circ }{2}=30^\circ [/tex]

[ганка симеонова]

вярно е, но ще дам едно решение с малко тригонометрия
очевидно [tex]\Delta HMC[/tex]равнобедрен(защо?) =>[tex]ML=MK [/tex]

означаваме
[tex] KL=m; AC=BC=4m; CH=2h =>MH=MC=2m [/tex]

=> [tex] P_{CHM}=4m+2h [/tex]

=>[tex]2p=4m+2h =>MK=2m-h [/tex]

[tex] \Delta CHM\approx \Delta LKM =>\frac{LK}{CH }=\frac{MK}{MH }=>\frac{2m}{2h}=\frac{2m-h}{ m} [/tex]

=>[tex]h^{2}-2mh+m^{2}=0 =>(h-m)^{2}=0 =>h=m [/tex]

[tex] \Delta ACH: sin\angle A=\frac{CH}{CA }=\frac{2h}{4m }=\frac{1}{2 } [/tex]

ъгъл А е при основата на равнобедрен триъгълник, следователно е остър. тогава
[tex]\angle A=30^\circ =\angle B =>\angle C=120^\circ [/tex]