Национална олимпиада по Математика 2008 - Финален кръг

[Мирослав Стоенчев]

На 17 и 18 май ще се проведе финалният кръг на Националната Олимпиада по Математика.

[Реклама]

[Who_cares123456]

някой има ли бройката класирани по класове, че на моят випуск нещо много му е паднал гарда - и 5 човека няма май толкова ли сме прости или някой не е съобразил трудността на задачите не знам ??

[Пафнутий]

Николай Николов като ни изнасяше лекция каза, че от 10 клас -10 човека са се класирали, а от 11 -6.Общо от всички класове към 45 били
ПП За съжаление не се класирах и аз

[martosss]

Няма нищо, може би някой друг живот

[Пафнутий]

Ти пък, още догодина

[Мирослав Стоенчев]

Финален кръг - първи ден

Задача 1. Нека [tex]\triangle ABC[/tex] е остроъгълен с вътрешна ъглополовяща [tex]CL,\ L\in AB.[/tex] Toчка [tex]P[/tex] принадлежи на отсечката [tex]CL[/tex] така, че
[tex]\angle APB=\pi-\frac{1}{2}\angle ACB.[/tex] Нека [tex]k_1[/tex] и [tex]k_2[/tex] са описаните окръжности съответно около [tex]\triangle APC,\ \triangle BPC.[/tex] [tex]BP\cap k_1=Q,\ AP\cap k_2=R.[/tex] Допирателните към [tex]k_1[/tex] в [tex]Q[/tex] и към [tex]k_2[/tex] в [tex]B[/tex] се пресичат в точка [tex]S,[/tex] допирателните към [tex]k_1[/tex] в [tex]A[/tex] и към [tex]k_2[/tex] в [tex]R[/tex] се пресичат в точка [tex]T.[/tex]
Да се докаже, че [tex]|AS|=|BT|.[/tex]

Задача 3. Нека [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] и [tex]\ 0\le \alpha_1\le\ \cdots \ \le \alpha_n\le\pi[/tex] и [tex]b_1,b_2,...,b_n[/tex] са реални числа, за които неравенството [tex]|\sum_{i=1}^nb_i\cos(k\alpha_i)|<\frac{1}{k}[/tex] е в сила за всяко [tex]k\in\mathbb{N}.[/tex] Да се докаже, че [tex]b_1=b_2=\ \cdots\ =b_n=0.[/tex]

[Who_cares123456]

Досега се мъчех да направя чертеж, но не стана. Ето все пак моето решение:
Задача 1:
Нека BSxAT=F, TRxBS=N, SQxAT=M.

<BPR=<APQ=180°-<APB=γ/2

<APQ=<AQP=<ACP=γ/2 => AQ=AP.
<BPR=<PRB=<PCB=γ/2 => BP=BR.

Дъгата AQ=γ в k₁ => <SQA=<QAM=γ/2
и дъгата BR=γ в k₂ => <BRT=<NBR=γ/2.

От <QAM=AQP=γ/2 => AT||QB ; <NBR=<PRB=γ/2 => SB||AR.

=> AFBP е успоредник => FB=AP=AQ и AF=PB=BR.
Също така <AFS=<BFT=γ/2 . Сега равнобедрените триъгълници ▲BNR и ▲AFG (AQxBS=G) излизат еднакви по 2 признак. => AG=BN и <QGS=<FNT=γ.

=> ▲SQG = ▲FNT по 2 признак => QS=FT
=> ▲SQA = ▲FBT по 1 признак => AS=BT.

ПС Някой, ако направи чертеж, ще е идеално

[Мирослав Стоенчев]

Задача 1. Д-во: В сила са следните равенства между ъгли:
[tex]\angle APB=\pi-\frac{\gamma}{2}\Rightarrow \angle SQA=\angle APQ=\angle BPR=\frac{\gamma}{2},\ \angle TRB=\angle BRP=\angle BCP=\frac{\gamma}{2},\ \angle AQP=\angle ACP=\frac{\gamma}{2},\ [/tex]
[tex]\angle SBQ=\angle SBP=\angle BCP=\frac{\gamma}{2},\ \angle TAR=\angle TAP=\angle ACP=\frac{\gamma}{2}.[/tex]

[tex]\triangle BQS \sim \triangle ATR[/tex]
[tex]\angle SBQ=\angle TAR=\frac{\gamma}{2}[/tex]
[tex]\angle BQS=\angle ART=\gamma[/tex]

Така [tex]\angle QSB=\angle RTA=\pi-\frac{3\gamma}{2}\ (0)[/tex]

Прилагаме синусовия вариант на теоремата на Чева за триъгълниците [tex]\triangle BQS,\ \triangle ATR:[/tex]

[tex]1)\ \frac{\sin \angle BQA}{\sin \angle AQS}.\frac{\sin \angle QSA}{\sin \angle ASB}.\frac{\sin \angle ABS}{\sin \angle ABQ}=1\Rightarrow \frac{\sin \angle ASB}{\sin \angle QSA}=\frac{\sin \angle ABS}{\sin \angle ABQ}=\frac{\sin \angle BAP}{\sin \angle ABP}\ (*)[/tex]

[tex]2)\ \frac{\sin \angle TRB}{\sin \angle BRA}.\frac{\sin \angle RAB}{\sin \angle BAT}.\frac{\sin \angle ATB}{\sin \angle BTR}=1\Rightarrow \frac{\sin \angle BTR}{\sin \angle ATB}=\frac{\sin \angle RAB}{\sin \angle BAT}=\frac{\sin \angle BAP}{\sin \angle ABP}\ (**)[/tex]

От (0), (*) и (**) получаваме [tex]\frac{\sin \angle ASB}{\sin \angle QSA}=\frac{\sin \angle BTR}{\sin \angle ATB}, \angle ASB+\angle QSA=\angle BTR+\angle ATB<\pi\ (***)[/tex]

От (***) лесно следва [tex]\angle ASB=\angle BTR,\ \angle QSA=\angle ATB\ (3).[/tex]

Накрая прилагаме синусова теорема за [tex]\triangle SAB,\ \triangle TAB\Rightarrow \frac{SA}{\sin \angle SBA}=\frac{AB}{\sin \angle ASB},\ \frac{BT}{\sin \angle BAT}=\frac{AB}{\sin \angle ATB}.[/tex]

Следователно [tex] (*),\ (**),\ (3)\Rightarrow SA=\frac{AB.\sin \angle SBA}{\sin \angle ASB}=\frac{AB.\sin \angle BAP}{\sin \angle ASB}=\frac{AB.\sin \angle BAP}{\sin \angle BTR}=\frac{AB.\sin \angle ABP}{\sin \angle ATB}=\frac{AB.\sin \angle BAT}{\sin \angle ATB}=BT.[/tex]

[Мирослав Стоенчев]

Някой направи ли 3-та? А за първа е вярно, с еднакви триъгълници става по-бързо, но ми се изплъзна

[Who_cares123456]

:pdfh

[Who_cares123456]

дайте втора задача моля и кажете дали е вярна 3та

[ins-]

че само две задачи ли са се паднали за два дни ?!

[Мирослав Стоенчев]

Финален кръг, 17-18 май

Задача 1. Нека [tex]\triangle ABC[/tex] е остроъгълен с вътрешна ъглополовяща [tex]CL,\ L\in AB.[/tex] Toчка [tex]P[/tex] принадлежи на отсечката [tex]CL[/tex] така, че
[tex]\angle APB=\pi-\frac{1}{2}\angle ACB.[/tex] Нека [tex]k_1[/tex] и [tex]k_2[/tex] са описаните окръжности съответно около [tex]\triangle APC,\ \triangle BPC.[/tex] [tex]BP\cap k_1=Q,\ AP\cap k_2=R.[/tex] Допирателните към [tex]k_1[/tex] в [tex]Q[/tex] и към [tex]k_2[/tex] в [tex]B[/tex] се пресичат в точка [tex]S,[/tex] допирателните към [tex]k_1[/tex] в [tex]A[/tex] и към [tex]k_2[/tex] в [tex]R[/tex] се пресичат в точка [tex]T.[/tex]
Да се докаже, че [tex]|AS|=|BT|.[/tex]


Задача 2. Съществуват ли 2008 непресичащи се аритметични прогресии от естествени числа, такива че всяка от тях съдържа просто число, по-голямо от 2008 и числата, които не принадлежат на нито една от тях са краен брой?


Задача 3. Нека [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] и [tex]\ 0\le \alpha_1\le\ \cdots \ \le \alpha_n\le\pi[/tex] и [tex]b_1,b_2,...,b_n[/tex] са реални числа, за които неравенството [tex]|\sum_{i=1}^nb_i\cos(k\alpha_i)|<\frac{1}{k}[/tex] е в сила за всяко [tex]k\in\mathbb{N}.[/tex] Да се докаже, че [tex]b_1=b_2=\ \cdots\ =b_n=0.[/tex]

Задача 4. Да се намери най-малкото естествено [tex]k,[/tex] такова че съществуват такива естествени числа [tex]m,\ n[/tex] че [tex]1324+279m+5^n[/tex] е точна [tex]k-[/tex]та степен на естествено число.


Задача 5. Нека [tex]n[/tex] е фиксирано естествено число. Да се намерят всички естествени числа [tex]m,[/tex] такива че [tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}\ge a^m+b^m[/tex] е в сила за всеки положителни [tex]a,\ b[/tex] със сума [tex]2.[/tex]

Задача 6. Нека [tex]M[/tex] е множеството на целите числа от интервала [tex][-n,n].[/tex] Подмножеството [tex]P[/tex] на [tex]M[/tex] се нарича базисно, ако всяко число от [tex]M[/tex] може да се представи като сума на някои [tex]n[/tex] различни числа от [tex]P.[/tex]
Да се намери най-малкото естествено [tex]k,[/tex] такова че всеки [tex]k[/tex] числа от [tex]M[/tex] образуват базисно множество.

[Who_cares123456]

4 задача:
Да предположим, че [tex]1324+279m+5^n[/tex] е точен квадрат.

[tex]1324+279m+5^n=t^2\equiv 1 (mod 3)[/tex]
=> [tex]1324+5^n\equiv 2/0 (mod 3)[/tex] => [tex]t=3t_0[/tex]
=> 9 дели [tex]5^n+1324\equiv 5^n+1[/tex] => [tex]n=3n_0[/tex].

[tex]1324+279m+125^{n_0}\equiv 22+0+1=23 (mod 31)[/tex]
[tex]9t^2\equiv 1,3,4,5,7,8,9,10,13,14,16,20,25,27,28 (mod 31)[/tex]

=> [tex]1324+279m+5^n[/tex] не може да е точен квадрат.

Нека сега [tex]m=1,n=3[/tex] => [tex]1324+279m+5^n=1728=12^3[/tex]

=> най-малкото [tex]k[/tex] e 3.

[ins-]

Съжалявам за двойното пускане на тази задача, но смятам, че е "красива" - тя беше моето предложение за НОМ тази година. Как Ви се струва?

[Peter,theResolutionMaster]

Който иска задачите (и/или решенията) от 3ти кръг и двете контролни за 7 и 8 клас да ми пише на скайпа: ourfamily9

[Who_cares123456]

5 задача:
Нека [tex]b\ge 1\ge a[/tex]. Тъй като a+b=2 => 1-b=-(1-a).

Да разгледаме разликата
[tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}-a^{n+1}-b^{n+1}=\frac{(1-a)(1+a+...+a^n)}{a^n}+\frac{(1-b)(1+b+...+b^n)}{b^n}=[/tex]

[tex]=\frac{(1-a)}{a^nb^n}\sum_{i=0}^{2n}(b^na^i-a^nb^i)=\frac{(1-a)}{a^nb^n}[\sum_{i=0}^{n-1}(b^na^i-a^nb^{2n-i})+(a^nb^n-a^nb^n)+\sum_{i=n+1}^{2n}(b^na^i-a^nb^{2n-i})]=[/tex]

[tex]=\frac{(1-a)}{a^nb^n}[\sum_{i=0}^{n-1}b^na^i(1-a^{n-i}b^{n-i})-\sum_{i=n+1}^{2n}a^nb^{2n-i}(1-a^{i-n}b^{i-n})]=[/tex]

[tex]=\frac{(1-a)}{a^nb^n}[\sum_{i=0}^{n-1}b^na^{n-i}(1-a^{i+1}b^{i+1})-\sum_{i=0}^{n-1}a^nb^{n-i}(1-a^{i+1}b^{i+1})]=[/tex]

[tex]=\frac{(1-a)}{a^nb^n}[\sum_{i=0}^{n-1}(1-a^{i+1}b^{i+1})(b^na^{n-i}-a^nb^{n-i})][/tex]

=>[tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}-a^{n+1}-b^{n+1}=\frac{(1-a)}{a^nb^n}[\sum_{i=0}^{n-1}(1-a^{i+1}b^{i+1})b^{n-i}a^{n-i}(b^i-a^i)]\ge 0[/tex]

=>[tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}\ge a^{n+1}+b^{n+1}[/tex], тъй като [tex]4ab\le (a+b)^2=4[/tex] => [tex](ab)^t\le 1[/tex].

Да разгледаме сега разликата
[tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}-a^{n+2}-b^{n+2}=\frac{(1-a)(1+a+...+a^{n+1})}{a^n}+\frac{(1-b)(1+b+...+b^{n+1})}{b^n}=[/tex]

[tex]=\frac{(1-a)}{a^nb^n}\sum_{i=0}^{2n+1}(b^na^i-a^nb^i)=\frac{(1-a)}{a^nb^n}[\sum_{i=0}^{2n+1}a^nb^n(a^{i-n}-b^{i-n})]=[/tex]

[tex]=\frac{(1-a)}{a^nb^n}a^nb^n[\sum_{i=0}^{n}(\frac{1}{a^{n-i}} -\frac{1}{b^{n-i}} )+\sum_{i=n+1}^{2n+1}(a^{i-n}-b^{i-n})]=[/tex]

[tex]=\frac{(1-a)}{a^nb^n}a^nb^n[\sum_{i=0}^{n}\frac{b^{n-i}-a^{n-i}}{a^{n-i}b^{n-i}}+\sum_{i=0}^{n}(a^{n+1-i}-b^{n+1-i})]=[/tex]

[tex]=\frac{(1-a)}{a^nb^n}a^nb^n[(a^{n+1}-b^{n+1})+\sum_{i=0}^{n-1}(a^{n-i}-b^{n-i})(1-\frac{1}{a^{n-i}b^{n-i}})][/tex]

Нека [tex]ab^n=k\le 1[/tex]

[tex](a^{n+1}-b^{n+1})+\sum_{i=0}^{n-1}(a^{n-i}-b^{n-i})(1-\frac{1}{a^{n-i}b^{n-i}})=[/tex]
[tex]=(a-b)(b^n+b^{n-1}a+...+a^n)+\sum_{i=0}^{n-1}(a-b)(b^{n-i-1}+b^{n-i-1}a+...+a^{n-i})(1-\frac{1}{a^{n-i}b^{n-i}})=[/tex]
[tex]=-(b-a)[(b^n+b^{n-1}a+...+a^n)-\sum_{i=0}^{n-1}(b^{n-i-1}+b^{n-i-1}a+...+a^{n-i})(\frac{1}{a^{n-i}b^{n-i}}-1)<[/tex]
[tex]<-(b-a)[nk-\sum_{i=0}^{n-1}k)]<0[/tex] (като имаö време ще го дооправя това)

=>[tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}\le a^{n+2}+b^{n+2}[/tex]

Сега остава да се докаже, че [tex]a^t+b^t\ge a^{t-1}+b^{t-1}=\frac{a+b}{2}(a^{t-1}+b^{t-1})[/tex].
<=>[tex] a^t+b^t\ge ab^{t-1}+ba^{t-1} [/tex] <=> [tex](b-a)(b^{t-1}-a^{t-1})\ge 0[/tex].

=> m е всяко естествено число от интервала [1;n+1].

ПС Ей голямо писане падна (:

[martosss]

[erejnion]

Може ли някой да качи и резултатите тук аз поне нямам достъп до math bas bg. ... и определено нищо не би помогнало освен прокси сървър or sth like that

[Мирослав Стоенчев]

Резултати

[JusTok]

Някой има ли класирането за 7 и 8 клас ?

[davkata_bs]

Нз дали е за хвалене ама отидох на третия кръг без да съм се класирал (голяма излагация ) и станах 2ри след рафаилчо по точки но понеже не съм класиран ме няма в класирането ето:

[erejnion]

eto~~ благодаря за качването на резултатите ^^

и чак сега виждам.. горките Тони и Дани

[Donatello]

А някой има ли резултатите от втори областен кръг Стара Загора

[karamata_varna]

bg_yoda съжалявам, но твоето решение е крайно грешно. Няма нищо общо с действителността.

[Dian Atanasov<T1BLD>]

някой може ли да пусне задачите за националното за 9ти и 10ти клас от 2008 и 2009. Благодаря предварително.

[krainik]

Националната олимпиада е с 1 и съща тема за 9-12 клас. Тука е поместена темата от 2008 година, а от тази - http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=10222

[DoubleD]

Знае ли някой къде може да се намерят решения на задачите от националната олимпиада 2004 ?