Лице на трапец

[sevi]

Даден е трапец с основи a и b (а>b) и ъгъл между бедрата alfa. Намерете лицето на трапеца, ако диагоналите му са взаимно перпендиколярни.
Пробвах няколко пъти да реша задачата, но нещо не се получава. Ако някой има педложение моля да го напише.

[Реклама]

[martosss]

Означаваме АД=х, ВС=у, нека АСхВД=О и АДхВС=М.
Тъй като ъгълът между диагоналите е прав, то може да образуваме Питагорови теореми за АВО, ВСО, СДО, АОД =>

[tex]a^2+b^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2=x^2+y^2\Right[/tex]

[tex]a^2+b^2=x^2+y^2[/tex]

Освен това нека Р е върху АВ и ДР||ВС, тогава ДРВС става успоредник и ВС=ДР=у, ДС=ВР=b. Също така трябва да забележим, че ДМ||ВМ откъдето ъгъл АДР=ъгълАМС=α.
Нека образуваме Косинусова теорема за ▲АРД и АР:

[tex]AP^2=AD^2+PD^2-2AP*PD*cos\angle ADP[/tex]

[tex](a-b)^2=x^2+y^2-2xycos\alpha [/tex]

Но [tex]a^2+b^2=x^2+y^2\Right [/tex]

[tex]\Right (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=x^2+y^2-2ab=x^2+y^2-2xycos\alpha \Right xy=\frac{ab}{cos\alpha } [/tex] (1)

Сега [tex]\Delta ABM\equiv \Delta DCM[/tex](от теоремата на талес )=> [tex]\frac{AM}{DM}=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{b}\Right DM=\frac{xb}{a-b}[/tex]

освен това от подобието следва, че [tex]\frac{BM}{CM}=\frac{a}{b}\Right CM=\frac{yb}{a-b}[/tex]

Сега [tex]S_{ABCD}=S_{ABM}-S_{CDM}=\frac{AM*BM*sin\alpha }{2}-\frac{DM*CM*sin\alpha }{2}=\frac{sin\alpha }{2}\left[x*\left(1+\frac{b}{a-b}\right)*y\left(1+\frac{b}{a-b}\right)-\frac{xb}{a-b}*\frac{yb}{a-b}\right]=[/tex]

[tex]=\frac{xysin\alpha }{2}*\left[\frac{a-b+b}{a-b}*\frac{a-b+b}{a-b}-\frac{b^2}{(a-b)^2}\right]=\frac{xysin\alpha }{2}*\left[\frac{a^2-b^2}{(a-b)^2}\right]=\frac{xysin\alpha }{2}*\frac{a+b}{a-b}[/tex]

Но от (1) имаме [tex]xy=\frac{ab}{cos\alpha } \Right[/tex]

[tex]S_{ABCD}=\frac{\frac{ab}{cos\alpha }*sin\alpha*\frac{a+b}{a-b}}{2}=\frac{ab*tg\alpha *(a+b)}{2(a-b)}[/tex]

[sevi]

Брао мерси мн

[martosss]

Хех няма проблем Добре че има такива като теб да дават сложни задачки, та да се тренираме :d