Периметър и Лице

[Saposto_MM]

Да се докаже, че всеки триъгълник с лице S и периметър P може да се раздели на n триъгълника, всеки от които има периметър по-голям от [tex]\frac{12S}{P} [/tex]

[Реклама]

[Пафнутий]

Ще може ли да видим решението [tex]\normalsize\unitlength{.6}\picture(100){ (50,50){\circle(99)} (20,55;50,0;2){\fs{+1}\hat\bullet} (50,40){\bullet} (50,35){\circle(50,25;34)} (50,35){\circle(50,45;34)}}[/tex]

[Saposto_MM]

Най-малката страна може да е най-много[tex]\frac{P}{3} [/tex]. Така за височината h към тази страна получаваме [tex]\frac{\frac{Ph}{3}}{2}\ge S[/tex] => [tex]h\ge \frac{6S}{P}[/tex]. Тогава за всеки две точки X_i,X_j от страната BC (ако счетем, че BC е най-малката страна) имаме [tex]X_{i}A, X_{j}A\ge \frac{6S}{P} [/tex]. Тогава триъгълникът X_iX_jA има периметър по-голям (строго) от [tex]\frac{12S}{P}[/tex]. Можем да си избираме колкото си искаме точки като X_i и X_j.