Спешно ми трябва помощ.Екстремална задача в геометрията

[alex_svd]

Кой от всички триъгълници с с даден периметър 2p и страна с дължина а има максимално лице?За коя стойност на а това лице е най-голямо?


Отг.Равнобедреният триъгълник с лице S=(a/2)sqrt{p(p-а)} a=2p/3.


Благодаря предварително

[Реклама]

[ганка симеонова]

нека страните означим с х и у. тогава:

[tex]y=2p-a-x ; y\in (0;2p-a) [/tex]

от хероновата формула за лице получаваме:

[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-x)(p-y)}=\sqrt{p(p-a)(p-x)(a+x-p)} [/tex]

тогава очевидно лицето ще има най- голямата стойност, когато функцията

[tex]f(x)=(p-x)(a+x-p) [/tex] достигне най- голямата си стойност.

[tex]f^{'}(x)=2p-a-2x ; f^{'}(x)=0 =>x=\frac{2p-a}{2 } [/tex]

това е точка на единствен локален екстрмум, който е максимум, следователно в нея, функцията добива НГС. тогава, замествайки в израза за страната му, получаваме

[tex]y=\frac{2p-a}{2 } [/tex] и се оказва, че това е равнобедрен триъгълник.
замествайки в хероновата формула получаваме и самото максимално лице..

[ObsCure]

Повечето екстремални задачи могат да се решат и посредством неравенство на Коши.И е доста по-кратко.

[nikolavp]

[ObsCure]

Nona used гореспоменатото неравенство в една от задачите,може ако се се интересуваш да я видиш.По повод думичката 'простосмъртни' ще припомня,че става дума за

[tex]\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}[/tex]

като тук е приложено за 2 числа.

[nikolavp]

[ObsCure]

Да,по принцип е известно така,както го знаеш.Но и като НнК се знае