локални екстремуми

ганка симеонова

а) Да се намерят локалните екстремуми на функцията

[tex]f(x)=(x^{2}-2x-1)^{2} [/tex]

б) Да се намерят всички реални стойности на p, за които уравнението

[tex] x^{4}-(4+4p)x^{3}+(2+12p)x^{2}+(4-4p)x+1-4p=0 [/tex]

има четири различни реални корена.

Реклама

nikolavp · Пуснато на: Mon May 12, 2008 1:08 pm Заглавие:

1) [tex]f(x)=(x^{2}-2x-1)^{2} [/tex] => [tex]f'(x) = 2(x^2-2x-1)(2x-2)[/tex]=> Фунцкията има 3 екстремума [tex]x_{1}=1 \;x_{2,3}=1 \pm \sqrt{2}[/tex]

nikolavp · Пуснато на: Mon May 12, 2008 1:30 pm Заглавие:

По втората имам само идея, но не мога да я довърша. Ето я и нея:

Лесно се установява(като се намери границата), че фунцкията идва от [tex]+\infty [/tex] и отива натам => за да има f(x) 4 решения, трябва f'(x) да има 3 корена(3 екстремума за f(x)) като два от тях са отрицателни числа, а единият е положително число и стигам до това уравнене f'(x) = [tex]4x^3 - 12(1+p)x^2+4(1+6p)x+4(1-p)[/tex] и дотам. Мога да кажа, кога тази фунцкия има три решения, но това не решава проблема с това единият от тях да е положителен, а другите отрицателни...

ганка симеонова · Пуснато на: Mon May 12, 2008 2:05 pm Заглавие:

подсказка..
разкрий скобите на уравнението и помисли Wink

задачките, които постнах са на Иван Тонов и Чавдар Лозанов Wink

по тази причина са интересни и малко или много- нестандартни

nikolavp · Пуснато на: Mon May 12, 2008 2:31 pm Заглавие:

martosss · Пуснато на: Mon May 12, 2008 3:32 pm Заглавие:

garion · Пуснато на: Mon May 12, 2008 3:40 pm Заглавие:

ObsCure · Пуснато на: Mon May 12, 2008 3:41 pm Заглавие:

Намира се производната и на изразът в скобите Wink

В тази формула е пропуснато

(x)'

martosss · Пуснато на: Mon May 12, 2008 4:04 pm Заглавие:

ясно, загрях, 10х гайс Laughing

ганка симеонова · Пуснато на: Thu May 15, 2008 3:47 pm Заглавие:

по б)подусловие:
ако приведем функцията в многочлен в нормален вид, тя ще изглежда:

[tex] f(x)=x^{4}-4x^{3}+2x^{2}+4x+1 [/tex]

[tex] =>f^{'}(x)=4x^{3}-12x^{2}+4x+4 [/tex]

ако разкрием скобите на уравненито и изнесем р пред скоби, получаваме:

[tex] f(x)-pf^{'}(x)=0 [/tex] =>

[tex](x^{2}-2x-1)[(x^{2}-2x-1)-4p(x-1)]=0 [/tex]

това уравнение със сигурност от първия множител има два различни корена. тогава уравнението

[tex] (x^{2}-2x-1)-4p(x-1)=0 [/tex] би имало за корен някое от числата на предното, само ако [tex] p=0 [/tex]

нека [tex]p\ne 0 [/tex]
тогава уравнението има два различни реални корена, защото

[tex] D=4(p^{2}+2)>0 [/tex]

извод: уравнението има 4 различни реални корена, при [tex] p\ne 0 [/tex]