Задачка!!!

[estoyanovvd]

Задача. Две окръжности се пресичат в точките А и К. Центровете им са разположени в различни полуравнини относно правата АК. Точките В и С лежат съответно на едната и другата окръжност. Правата, съдържаща отсечката АС, се допира до другата окръжност в точка А, а правата, съдържаща отсечката АВ се допира до другата окръжност също в точка А. Дължината на ВК е равна на 1, дължината на СК на 4, а тангенсът на ъгълСАВ е[tex]\frac{1}{\sqrt{15} } [/tex] . Намерете лицето на триъгълника АВС.

[Реклама]

[Nona]

Означаваме <CAB=α. Тогава <О₂AC=<O₁AB=90°-α; <AKC=<AKB=180°-α; <CAK=<KAB; <CKB=2α.

[tex]\triangle AKC\sim \triangle BKA \Rightarrow \frac{AK}{CK}=\frac{BK}{AK}, \ AK^2=CK.BK=4.1, \ AK=2 \\ \tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \Rightarrow \cos\alpha=\sqrt{15}\sin\alpha \\ 1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=16\sin^2\alpha \Rightarrow \sin\alpha=\frac14, \ \cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}, \ \sin {2\alpha}=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{8} \\ S_{ABC}=S_{CBK}+S_{AKB}+S_{ACK}=\frac{CK.BK.\sin{2\alpha}}{2}+\frac{AK.BK.\sin(180^\circ- \alpha)}{2}+\frac{CK.AK.\sin(180^\circ - \alpha)}{2}=\frac{5+\sqrt{15}}{2}[/tex]