Не трудна задача

[Пафнутий]

Да се докаже, че числото [tex]1^n+2^n+3^n+4^n[/tex] се дели на 5 за всяко [tex]n[/tex]≠[tex]4k[/tex] , където [tex]k[/tex] е произволно цяло число.
Задачата е давана на олимпиада в САЩ през 1978г

[Реклама]

[ганка симеонова]

прилагаме формулата [tex] a^{n}+b^{n} [/tex]
за първото и последното, респективно второто и третото.
така можем да извадим общ множител 5....

[Пафнутий]

Има условие [tex]n[/tex] да не е кратно на 4 И ти така доказваш само за нечетните

[Ma6irinata]

9Разглеждаме делението на n с 4.
Ако остатъкът е 1 , т.е n = 4k+1 =>

[tex] 1 ^{n} = 1 [/tex]
[tex] 2^{n} = ... 2 [/tex]
[tex] 3^{n} = ... 3[/tex]
[tex] 4^{n} = ... 4[/tex]

[tex]1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n} = ... 0[/tex] , което се дели на 5 .

Аналогично за n = 4k+2

[tex] 1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n} = 1 + ... 4 + ... 9 + ... 6 = ... 5 [/tex],
което се дели на 5.

За n = 4k+3

[tex] 1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n} = 1 + ... 8 + ... 7 + ... 4 = ... 0 [/tex] ,
което се дели на 5 .

За n = 4k

[tex] 1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n} = 1 + ... 6 + ... 1 + ... 6 = ... 4 [/tex] ,
което не се дели на 5.

[Пафнутий]

Това е отговорът на задачата