Едно уравнение

[peti777_]

Имам един проблем по ДУ и ще се радвам ако някой успее да ми помоге.Реших си всички задачи , които са ми за освобождаване от изпита без една,която ме мъчи ;(
Ще съм много признателна ако се намери някой да ми помогне.
Та задачата е по Диференцялни уравнения от тема Метод на интегралния множител

(y^3 – 3x^2y^3 – 2x^3)dx + (2y^3 + 3x^3y^2 – x)dy = 0
допуска интегриращ множител от вида µ = µ (х^3 + y)
(Ако не се лъжа преподавателят ни каза че в задачата има грешка)

[Реклама]

[Mister ABC]

Предлагам ви вместо вашето уравнение, което е
(*) [tex](y^3-3x^2y^3-2x^3)dx+(2y^3+3x^3y^2-x)dy=0[/tex]
да разгледате уравнението

(1) [tex](y-3x^2y^3-2x^3)dx+(2y^3+3x^3y^2-x)dy=0[/tex]

което се различава от вашето само по третата степен на първия у в първата скоба.
Понеже [tex]P_y=1-9x^2y^2[/tex] и [tex]Q_x=9x^2y^2-1[/tex] т.е. [tex]P_y\ne Q_x[/tex], лявата страна на (1) не е пълен диференциал на никоя функция на две независими променливи. Търсим интегриращ множител [tex]\beta =\beta (x,y)[/tex] така че след като умножим с него (1) да получим уравнение в пълен диференциал или ако
[tex]P=y-3x^2y^3-2x^3[/tex] и
[tex]Q=2y^3+3x^3y^2-x[/tex] т.е. (1) се записва във вида [tex]Pdx+Qdy=0[/tex] искаме за новото уравнение [tex]\beta Pdx+\beta Qdy=0[/tex] да бъде изпълнено [tex](\beta P)_y=(\beta Q)_x[/tex] или след диференцирането
(2) [tex]\beta _yP+\beta P_y=\beta _xQ+\beta Q_x[/tex].
Вие търсите интегриращ множител [tex]\beta =\beta (x^3+y)[/tex] т.е. [tex]\beta =\beta (u)[/tex] и [tex]u=x^3+y[/tex]. Тогава
[tex]u_x=3x^2[/tex] и [tex]u_y=1[/tex], от където получаваме
[tex]\beta _x=3x^2\beta '_u[/tex]
[tex]\beta _y=\beta '_u[/tex].
След заместване в (2) получаваме [tex]\beta '_uP+\beta P_y=3x^2\beta '_uQ+\beta Q_x [/tex] или
(3) [tex]\beta (P_y-Q_x)=(3x^2Q-P)\beta '_u[/tex]
Тъй като [tex]P_y-Q_x=2-18x^2y^2=2(1-x^2y^2)[/tex] остава да пресметнем израза пред [tex]\beta '_u [/tex].
[tex]3x^2Q-P=3x^2(2y^3+3x^3y^2-x)-(y-3x^2y^3-2x^3)=6x^2y^3+9x^5y^2-3x^3-y+3x^2y^3+2x^3=[/tex]
[tex]=9x^2y^3+9x^5y^2-x^3-y=y(9x^2y^2-1)+x^3(9x^2y^2-1)=(9x^2y^2-1)(y+x^3)[/tex].
Заместваме в (3) [tex]2(1-9x^2y^2)\beta =(9x^2y^2-1)(x^3+y)\beta '_u[/tex] или

[tex]-\frac{2\beta }{x^3+y } =\beta '_u[/tex] или след [tex]x^3+y=u[/tex]
[tex]\frac{-2du}{u }=\frac{d\beta }{\beta } [/tex] --> [tex]-2ln u=ln\beta [/tex] т.е. уравнението (1) допуска интегриращия множител [tex]\beta =\frac{1}{ (x^3+y)^2} [/tex]. След като умножим с него (1) получаваме

(4) [tex]\frac{y-3x^2y^3-2x^3}{ (x^3+y)^2}dx+\frac{2y^3+3x^3y^2-x}{(x^3+y)^2 } dy=0 [/tex]
Ако означим
[tex]M=\frac{y-3x^2y^3-2x^3}{ (x^3+y)^2}[/tex]
[tex]N=\frac{2y^3+3x^3y^2-x}{(x^3+y)^2 } [/tex]
то от равнството [tex]M_y=\frac{5x^3-9x^5y^2-y-3x^2y^3}{ (x^3+y)^3} =N_x[/tex] следва, че лявата страна на (4) е пълен диференциал на някоя функция на две независими променливи, която грижейки се за доброто ви здравословно състояние не ви съветвам да търсите.