Обем на призма

[BHuMaHuE]

Права призма ABCDA1B1C1D1 има за основа ромб ABCD с остър ъгал [tex]\alpha[/tex] където [tex]cos\alpha=1/3[/tex] и радиус 1 на вписаната в него окръжност. Ako [tex]\angle[/tex]CAC1=30[tex]^\circ[/tex] да се пресметно обема на призмата.

[Реклама]

[martosss]

r=1, cosα=[tex]\frac{1}{3}[/tex] -> V=?

sinα=[tex]\sqrt{1-cos^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]
Нека ДН ти е перпендикуляр към АВ, имаш ДН=2r=2, от ▲AHD =>sinα=[tex]\frac{DH}{AD}\Right AD=\frac{2}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{2}}[/tex]
Сега от▲АСД и Косинусова теорема за АС =>[tex]AC^2=AD^2+CD^2-2AD*CD*cos(180-\alpha)=2AD^2(1+cos\alpha)=2*\frac{9}{2}*\frac{4}{3}=12[/tex]
Означаваме СС1=х => от ▲АСС1, в който ъгъл АСС1 е 90 и ъгъл САС1 =30 имаме АС1=2СС1=2х.
Питагоровата теорема за АСС1 получаваме АС²=3x², но АС²=12 => [tex]3x^2=12 => x=2 => V=x*S_{ABCD}=2*AD*DH=2*\frac{3}{\sqrt{2}}*2=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}[/tex]γ

[ObsCure]

Тази е от Русенският Уни,2006та.Отговорът е

V=6[tex]\sqrt{2}[/tex]

[ObsCure]

Ето мое решение:

Нека основният ръб е x.Изразяваме лицето на основата по 2 начина

B=x²sinα

и

B=4S▲AOB(височината в тези 4 триъгълника е равна на радиусът на вписаната в основата окръжност)

Получаваме

x²sinα-2xr=0

x(xsinα-2r)=0

Оттук

x=2/sinα=[tex]\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]

Намираме

B=3[tex]\sqrt{2}[/tex]

Чрез косинусовата изразяваме диагоналът срещу тъпият ъгъл и получаваме

d=[tex]\frac{6}{\sqrt{3}}[/tex]

Използваме и tg30° в ▲CAC₁ за да намерим височината,която е

h=2

Оттук е ясно.

[BHuMaHuE]

благодаря ви много