Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача 5


 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Thu May 08, 2008 2:09 pm    Заглавие: Задача 5

Задача 5. (А Стоев) Да се намерят всички естествени числа [tex]n[/tex], за които неравенството [tex]ab^n+bc^n+ca^n+abc\le 4[/tex] е изпълнено за всички положителни реални числа [tex]a,b,c[/tex], за които [tex]a+b+c=3[/tex].

Решение на Задача 4: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=4944
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Fri May 09, 2008 4:14 pm    Заглавие:

Избираме а = 2, b = с = [tex]\frac{1}{2} [/tex]. Нека [tex]2^n = x[/tex].

[tex]ab^n + bc^n + ca^n + abc - 4= 2.\frac{1}{2^n} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2^n} + \frac{2^n}{2} + \frac{1}{2} -4 = \frac{2}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} - 4 \le 0[/tex]. Привеждаме под общ знаменател: [tex]4 + 1 + x^2 + x - 8x \le 0[/tex] или [tex]x^2 - 7x + 5 \le 0[/tex]. Решаваме това неравенство и тъй х като е естествено число, то 1 < х < 6, т.е. само х = 2, 4 върши работа, т.е. n = 1, 2.

За n = 1:

[tex]ab + b(3-a-b) + (3-a-b)a + ab(3-a-b) - 4 \le 0[/tex]
[tex](b+1)a^2 + (b^2-2b-3)a + b^2-3b-4 \ge 0[/tex]

[tex]D = (b-7)(b-1)^2(b+1) < 0[/tex], откъдето следва неравенството.

За n = 2 трябва да помисля още малко...

[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
sd_pld
Начинаещ


Регистриран на: 05 Dec 2006
Мнения: 68

Репутация: 12.9
гласове: 1

МнениеПуснато на: Wed May 28, 2008 10:18 am    Заглавие:

Николай.Каракехайов написа:
Избираме а = 2, b = с = [tex]\frac{1}{2} [/tex]. Нека [tex]2^n = x[/tex].

[tex]ab^n + bc^n + ca^n + abc - 4= 2.\frac{1}{2^n} + \frac{1}{2}.\frac{1}{2^n} + \frac{2^n}{2} + \frac{1}{2} -4 = \frac{2}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} - 4 \le 0[/tex]. Привеждаме под общ знаменател: [tex]4 + 1 + x^2 + x - 8x \le 0[/tex] или [tex]x^2 - 7x + 5 \le 0[/tex]. Решаваме това неравенство и тъй х като е естествено число, то 1 < х < 6, т.е. само х = 2, 4 върши работа, т.е. n = 1, 2.

За n = 1:

[tex]ab + b(3-a-b) + (3-a-b)a + ab(3-a-b) - 4 \le 0[/tex]
[tex](b+1)a^2 + (b^2-2b-3)a + b^2-3b-4 \ge 0[/tex]

[tex]D = (b-7)(b-1)^2(b+1) < 0[/tex], откъдето следва неравенството.

За n = 2 трябва да помисля още малко...

[/tex]

За 2 се стига до abc≤1, което следва от ср.аритм.-ср.геометрично
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
konstantin
Начинаещ


Регистриран на: 23 Sep 2007
Мнения: 14
Местожителство: sofia
Репутация: 3.2Репутация: 3.2Репутация: 3.2

МнениеПуснато на: Sat May 31, 2008 9:22 am    Заглавие:

Аз съм първи курс в софиския и сега учим намиране на екстремум на функция на няколко променливи .Ако съм смятъл вярно задачата е вярно за всяко естествено n и мисля че за всяко реално n .Решението е 2-3 страници и мързи да го препиша ,но все пак може и да го постна.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
konstantin
Начинаещ


Регистриран на: 23 Sep 2007
Мнения: 14
Местожителство: sofia
Репутация: 3.2Репутация: 3.2Репутация: 3.2

МнениеПуснато на: Sat May 31, 2008 10:44 am    Заглавие:

Защо ако евярно за а=2 b=c=1/2 да е вярно за всички положителни реални числа от вида a+b+c=3>Това не мога да го разбера нещо ми се стува грешно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
konstantin
Начинаещ


Регистриран на: 23 Sep 2007
Мнения: 14
Местожителство: sofia
Репутация: 3.2Репутация: 3.2Репутация: 3.2

МнениеПуснато на: Sat May 31, 2008 11:32 am    Заглавие:

f(a,b,c)=abn+bcn+can+abc

f'a(a,b,c)=nan-1c+bn+bc
f'b(a,b,c)=nbn-1a+cn+ac
f'c(a,b,c)=ncn-1b+an+ab

nan-1c+bn+0cn+bc=0
0an+nbn-1a+cn+ac=0
an+0bn+ncn-1b+bc=0

nanc+bna+0cnb+abc=0
0anc+nbna+cnb+abc=0
anc+0bna+ncnb+abc=0

това е линейна система тя е лесна и затова ще прескоча решението

(n+1)anc+abc=0
(n+1)bna+abc=0
(n+1)cnb+abc=0


(n+1)an-1+b=0
(n+1)bn-1+c=0
(n+1)cn-1+a=0

b=-(n+1)an-1
(n+1)(-(n+1)an-1)n-1+c=0
(-1)n-1(n+1)na(n-1)2+c=0
c=(-1)n(n+1)na(n-1)2
(n+1)(-1)n(n+1)na(n-1)2n-1+a=0
(n+1)n2-n+1a(n-1)3+a=0

g(a)=(n+1)n2-n+1a(n-1)3+a
g'(a)=(n-1)3(n+1)n2-n+1a(n-1)3-1+1
a\in [0;3]
g(0)=0
g(3)>0
g(a) и g'(a) са монотони и в точките 0 и 3 g(a) е полужителна
следователно единствения екстремум на g(a) ot 0 до 1 е в a=0.
Oт последната системата следва че единствения екстремум на
f(a,b,c) за a,b,c>0 a,b,c<3 e a=b=c=0 това противоречи на
a+b+c=3.За а+b+c=0 f(a,b,c) няма екстремуми за да е помалка
от 4 трябва да проверим крайщата на интервала.Но незнам какво
е край на областа за a,b,c>0 a+b+c=3,затова ще проверя интервала
a,b,c>0 a,b,c<3
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
konstantin
Начинаещ


Регистриран на: 23 Sep 2007
Мнения: 14
Местожителство: sofia
Репутация: 3.2Репутация: 3.2Репутация: 3.2

МнениеПуснато на: Sat May 31, 2008 11:49 am    Заглавие:

Embarassed чак сега видях че доказваш че за всяко н ралично от 1 и2 не е вярно мислих че правите обратното,а краищата на интервала не успявам да ги огранича
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Volen Siderov
Редовен


Регистриран на: 21 Oct 2006
Мнения: 123

Репутация: 24.5Репутация: 24.5
гласове: 4

МнениеПуснато на: Wed Jun 04, 2008 3:08 pm    Заглавие:

ако следвам логиката на николай то за a=b=c=1 имаме 1+1+1+1<=4 1+1+1=3 за всяко реално n.И тъй като окончателното решение за n е обединение на всички частни решения то отговора е за всяко реалнпо н.Иначе решението на константин според мен е в вярната посока и според мен правилно се търсят стойности на а,б,ц за които има екстремум и след това да се види за кои н израза е <=4.Така 4е ще ми е интересно ако той запише решението на задачата докрая
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Wed Jun 04, 2008 6:53 pm    Заглавие:

Volen Siderov написа:
ако следвам логиката на николай то за a=b=c=1 имаме 1+1+1+1<=4 1+1+1=3 за всяко реално n.И тъй като окончателното решение за n е обединение на всички частни решения то отговора е за всяко реалнпо н.Иначе решението на константин според мен е в вярната посока и според мен правилно се търсят стойности на а,б,ц за които има екстремум и след това да се види за кои н израза е <=4.Така 4е ще ми е интересно ако той запише решението на задачата докрая
Николай избира прозволни стойности и забелязва възможните [tex]n[/tex] и тук в този случай има 2 вероятни стойности на [tex]n[/tex], за които да е вярно условието и като ги замества доказва, че за всички [tex]a+b+c=3[/tex], тези стойности на [tex]n[/tex] изпълняват условието Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Wed Jun 04, 2008 7:35 pm    Заглавие:

Да! Ако допуснем, че условието е изпълнено за някое n > 2, можем да изберем 2, 1/2, 1/2, за да се убедим в противното.

За n = 2(с което за съжаление не успях да се справя) го има в "Математика +" първият брой за тази година.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Volen Siderov
Редовен


Регистриран на: 21 Oct 2006
Мнения: 123

Репутация: 24.5Репутация: 24.5
гласове: 4

МнениеПуснато на: Wed Jun 04, 2008 10:00 pm    Заглавие:

да прави сте така е.Само не ми е ясно в този тип решения на задачи(срещал съм и други такива),как така забелязваш че нешто особенно и удобно за решението се случва при напр.1,1/2,1/2 Smile Не се засягай ама на мен тва ми е невъзможно.Все пак ако може напиши и останалата част от решението.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Jun 05, 2008 8:13 am    Заглавие:

Пробване му е майката Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Thu Jun 05, 2008 3:56 pm    Заглавие:

Ми гледаш да получиш степени на едно и също число, по възможност цяло Laughing 1^а = 1, т.е. 1 няма смисъл. Тук имаме а + б + с = 3 и а, б, с > 0, т.е. и 3 не може. Остава 2. Избираш едното да е 2. Веднага се вижда, че 1/2 и 1/2 вършат прекрасна работа. Но ако искаш, можеш да разсъждаваш и така: ясно е, че двете са дроби. Тогава нека

1/2^х + 1/2^у = 1
2^х + 2^у = 2^(х+у)
а + б = аб
Б.о.о а ≥ б
аб = а + б ≥ 2а
аб ≥ 2а
б ≥ а

=> а = б

=> х = у

=> 1/2^х + 1/2^х = 1
1/2^(х-1) = 1
2^(х-1) = 1
х - 1 = 0
х = 1

=> числата са 1/2 и 1/2.

ПП: Но аз не съм правил такива разсъждения, тези числа веднага ми дойдоха наум.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Sat Jun 07, 2008 8:12 pm    Заглавие:

Дословно от сп. "Математика +":

Б.о.о а ≥ b ≥ c.

a2b + b2c + c2a - ab2 - bc2 - ca2 = (a-c)(a-b)(b-c) ≥ 0 => a2b + b2c + c2a ≥ ab2 + bc2 + ca2 => 2(ab2 + bc2 + ca2) + 2abc ≤ ab2 + bc2 + ca2 + a2b + b2c + c2a + 2abc = (a+b)(b+c)(c+a) ≤ {[(a+b) + (b+c) + (c+a)]/3}3 = 8 <=> ab2 + bc2 + ca2 +abc ≤ 4.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.