AM/MC=?

Nona · Пуснато на: Mon Mar 10, 2008 2:48 pm Заглавие: AM/MC=?

Даден е триъгълник ABC със страни AB=12, BC=13, AC=15. Върху страната АС е избрана точка М така, че окръжностите вписани в триъгълниците АМВ и ВМС да са с равни радиуси. Намерете отношението на АМ към МС.

Smile

Реклама

cub · Пуснато на: Mon Mar 10, 2008 10:14 pm Заглавие:

[tex] S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} [/tex]
[tex] p=40, S^{2}=20.8.7.5, S=20\sqrt{14} [/tex]

поправям го тук (Nona, благодаря)

[tex] \frac{S_{ABM}}{S_{ABC} }=\frac{AM}{AC }=\frac{AM}{15 } [/tex]
[tex] r(12+AM+MB).15 =20\sqrt{14} AM[/tex]
[tex] S_{ABC}=S_{ABM}+S_{BMC}=r\frac{AC+AB+BC+2MB}{ 2}=r(20+MB)[/tex]
[tex] r=\frac{20\sqrt{14}}{20+MB } [/tex]
[tex] \frac{20\sqrt{14}}{2(20+MB) }(12+AM+MB).15=20\sqrt{14} AM[/tex]
[tex] 12.15+15AM+15MB=40AM+2AM.MB[/tex]
[tex] MB=\frac{25AM-15.12}{15-2AM } [/tex]

[tex]\frac{S_{MBC}}{S_{ABC} } =\frac{MC}{AC } [/tex]
[tex] 15.20\sqrt{14} (13+MC+MB)=20\sqrt{14}MC(20+MB).2[/tex]
[tex] 15.13+15MC+15MB=40MC+2MC.MB[/tex]
[tex] MB=\frac{25MC-15.13}{15-2MC } [/tex]
засега това

Nona · Пуснато на: Mon Mar 10, 2008 10:38 pm Заглавие:

cub · Пуснато на: Mon Mar 10, 2008 11:38 pm Заглавие:

ами то трябва да е P/2, t.e. p, а не целият периметър, сега ще видя дали е възможно да се оправи или всичко отива ..

заспах на тази задача, щом BM я получих височина, значи положението е доста оплетено :/....

r2d2 · Пуснато на: Tue Mar 11, 2008 9:36 pm Заглавие:

Въпреки, че принципно ми е ясно как би трябвало да се реши, не успявам! Получавам много тегави у-ния.

Ще ми е любопитно да видя решение.

И една малка забележка: Задачата очевидно е руска. Там А и С са долу, а В - горе. В САЩ А е горе В и С - долу.

Поне засега (вярно, че сме в НАТО - голем праз) у нас е А и В - долу С - горе. Никакъв проблем да се сменят буквите.

Nona · Пуснато на: Wed Mar 12, 2008 3:40 pm Заглавие:

Намираме [tex]\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{2}{7}}[/tex] и [tex]\tan{\frac{C}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4\sqrt{2}}[/tex]. Ако с р₁ и р₂ означим полупериметрите на ▲АМВ и на ▲МСВ, а ВМ - с х, то
[tex]\frac{r}{p_1-x}=\tan{\frac{A}{2}}, \ \frac{r}{p_2-x}=\tan{\frac{C}{2}} \\ \Rightarrow p_1=\frac{r+x.\tan{\frac{A}{2}}}{\tan{\frac{A}{2}}}\\ p_2=\frac{r+x.\tan{\frac{C}{2}}}{\tan{\frac{C}{2}}} \\ \Rightarrow p_1+p_2=\frac{r+x.\tan{\frac{A}{2}}}{\tan{\frac{A}{2}}}+\frac{r+x.\tan{\frac{C}{2}}}{\tan{\frac{C}{2}},[/tex]

но

[tex]2(p_1+p_2)=a+b+c+2x, \ p_1+p_2=20+x \\ \Rightarrow 20+x=\frac{r+x.\tan{\frac{A}{2}}}{\tan{\frac{A}{2}}}+\frac{r+x.\tan{\frac{C}{2}}}{\tan{\frac{C}{2}}} \\ \Rightarrow \fbox{r=\frac{\sqrt{14}(20-x)}{15}} \\ r(p_1+p_2)=S=20\sqrt{14} \leftrightarrow \fbox{r=\frac{20\sqrt{14}}{20+x}} \\ \frac{\sqrt{14}(20-x)}{15}=\frac{20\sqrt{14}}{20+x} \Rightarrow \fbox{x=10} \\ 2S_{AMB}=2r.p_1=AM.h \\ 2S_{BCM}=2r.p_2=MC.h \\ \Rightarrow \frac{AM}{MC}=\frac{p_1}{p_2} \\ \frac{AM}{MC}=\frac{12+AM+10}{13+MC+10} \Rightarrow \frac{AM}{MC}=\frac{22}{23}[/tex]

r2d2 · Пуснато на: Wed Mar 12, 2008 8:03 pm Заглавие:

Зад. е от сборника на Шаригин (бях прав, че е руска).
Много добро решение.

Браво, (Маги) Нона.

r2d2 · Пуснато на: Wed Mar 19, 2008 1:35 pm Заглавие:

Продължавам да се боря с тази задача.
С тази цел подзадачи:
Две непресичащи се окръжности с радиуси [tex]r_1 ,\; r_2 [/tex]имат обща външна допирателна [tex]AB=m[/tex]. Намерете дължината на общата им вътрешна допирателна.

Nona · Пуснато на: Wed Mar 19, 2008 3:33 pm Заглавие:

▲BPO₂~▲AO₁P
[tex]\frac{r_1}{m-x}=\frac{x}{r_2} \\ x^2-mx+r_1r_2=0 \\ x<\frac{m}{2}\Rightarrow x=\frac{m-\sqrt{m^2-4r_1r_2}}{2} \\ CD=m-2x=\sqrt{m^2-4r_1r_2}[/tex]

r2d2 · Пуснато на: Wed Mar 19, 2008 7:53 pm Заглавие:

Ето и моето решение:
Построяваме [tex]O_1E || AB.[/tex]
[tex]O_1O_2^2=O_1E^2+O_2E^2=m^2+(r_2-r_1)^2.[/tex]
Построяваме [tex]CF||=O_2D.[/tex]
[tex]O_1O_2^2=O_1F^2+O_2F^2=(r_1+r_2)^2+CD^2.[/tex]
[tex]m^2+(r_2-r_1)^2=(r_1+r_2)^2+CD^2.[/tex]

[tex]n^2=CD^2=m^2-4r_1r_2.[/tex]

А ето нова задача: Отсечката СМ (М - от АВ) разделя триъгълника АВС на два триъгълника, в които са вписани окр. с радиуси r_1 i r_2.
Докажете, че [tex]pr^2+cr_1r_2=pr(r_1+r_2)[/tex]. (Oбозначенията са стандартни)
(задачата се публикува с любезното съгласие на Virgil Nicula)

Nona · Пуснато на: Sat Mar 22, 2008 9:32 pm Заглавие:

Означаваме СМ=х, полупериметрите и радиусите на вписаните окръжности в ▲АМС и ▲ВМС съответно с p₁, r₁ и p₂, r₂.

ObsCure · Пуснато на: Sat Mar 22, 2008 9:43 pm Заглавие:

Браво!

r2d2 · Пуснато на: Sun Mar 23, 2008 12:29 pm Заглавие:

Във вече доказаното равенство (Браво, Нона!), заместваме [tex]r_1=r_2=\mu[/tex] (връщаме се към задачата на Шаригин).
Получаваме [tex]c\mu^2-2pr\mu+pr^2=0[/tex] , делим на [tex]r^2 [/tex] и като решим квадратното урвнение намираме
[tex]\frac {\mu}{r} = k = \frac {p-\sqrt{p(p-c)}}{c}[/tex] (другият корен е > 1).

Събираме равенствата на Нона (при r_1=r_2) [tex]p_1-x=k(p-a)[/tex] и [tex]p_2-x=k(p-b)[/tex] и получаваме:

[tex]\frac {AM+x+b}{2}+\frac {BM+x+a}{2} -2x = k(p-a+p-b) \Rightarrow p-x=kc[/tex]

[tex]x=CM=p-kc=\sqrt{p(p-c)}.[/tex]
Става ясно, че изборът на числата 12,13 и 15 не е бил случаен.

martosss · Пуснато на: Sun Apr 27, 2008 7:10 pm Заглавие: Re: AM/MC=?

r2d2 · Пуснато на: Fri May 09, 2008 12:53 pm Заглавие:

Нека [tex]\frac{AM}{MC}=\frac{k}{1-k}[/tex]. От теоремата на Стюарт имаме:
[tex]BM^2=ka^2+(1-k)c^2-k(1-k)b^2. [/tex].
Двете вписани окр. са с равни радиуси, значи лицата на двата триъгълника са отнасят както периметрите им:
[tex]\frac{S_1}{S_2}=\frac{k}{1-k}=\frac{c+kb+BM}{a+(1-k)b+BM}.[/tex]
Означаваме [tex]BM=x.[/tex]

От второто у-ние [tex]\frac{c+kb+x}{k}=\frac{a+(1-k)b+x}{1-k} \Rightarrow \frac{c+x}{k}=\frac{a+x}{1-k}[/tex].
Означаваме [tex]a+x=A\;c+x=C[/tex].
Получаваме:
[tex]k=\frac{C}{A+C}\; 1-k=\frac{A}{A+C}[/tex]. Заместваме в първото у-ние:

[tex]x^2(A+C)^2=C(A+C)a^2+A(A+C)c^2-ACb^2[/tex]
[tex]\Rightarrow ACb^2=(A+C)(Ca^2+Ac^2-(A+C)x^2)=(A+C)(C(a^2-x^2)+A(c^2-x^2))=[/tex]
[tex]=(A+C)(C(a+x)(a-x)+A(c+x)(c-x))=(A+C)(CA(a-x)+AC(c-x)).[/tex]

Получихме [tex]ACb^2=AC(A+C)(a+c-2x) [/tex] или [tex]b^2=(A+C)(a+c-2x)=(a+c+2x)(a+c-2x)[/tex]
[tex]\Rightarrow 4x^2=(a+c)^2-b^2=(a+b+c)(a+b-c)=2p.2(p-c)[/tex]

[tex]x=BM=\sqrt{p(p-c)}[/tex]