тригонометрично неравенство

[Night_Flower]

ето едно неравенство, което не мога да реша:

cos7x - sin5x > √3(cos5x-sin7x)

моля помогнете

[Реклама]

[Infernum]

Запиши неравенството във вида

[tex]\frac{1}{2}\cos 7x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x - \left( \frac{1}{2}\sin 5x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 5x \right)>0[/tex]

и използвай, че

[tex]\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}=\cos{\frac{\pi}{3}} \ , \ \sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos{\frac{\pi}{6}}[/tex].

Без значение е коя от стойностите на тригонометричните функции ще използваш, за да замениш числата 1/2 и √3/2 в неравенството. Например може да счетеш, че в първите две събираеми 1/2 = cos п/3 и √3/2 = sin п/3, а във израза в скобите да счетеш, че 1/2 = sin п/6 и √3/2 = cos п/6. Разбира се възможни са доста варианти за комбиниране. В зависимост от това как се вземат тези стойности ще се получават различни на външен вид неравенства, които обаче ще имат едно и също решение, тъй като всяко от тези неравенства може, чрез тригонометрични преобразувания, да се сведе до едно (кое да е) от тях.
Така например, ако счетеш, че за първите две събираеми 1/2 = sin п/6 и √3/2 = cos п/6, а за израза в скобите 1/2 = cos п/3 и √3/2 = sin п/3, то тогава неравенството добива вида

[tex]\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)\cos 7x+\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)\sin 7x-\left[\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)\sin 5x+\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\cos 5x \right]>0[/tex]

което е същото като

[tex]\sin \left(7x+\frac{\pi }{6}\right)-\sin \left( 5x + \frac{\pi }{3}\right)>0.[/tex]

Като се използва формулата за преобразуване на разлика от синуси в произведение, последното неравенство се записва във вида

[tex]\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)\cos \left(6x+\frac{\pi }{4}\right)>0[/tex]

Като се намерят нулите на отделните множители, може да се приложи метода на интервалите.

[Night_Flower]

Благодаря

[M_Velinova]

Ето и едно подробно решение