Малко помощ за една задачка.

[Garoll]

Уравнението [tex](a-1)x^{2} - (a+1)x + 2a - 1 = 0[/tex] има корени [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex]:
а)намерете стойностите на параметъра "а" , за които [tex]x_{1}<x_{2}<1[/tex];
б)ако [tex]a\ne 1[/tex] намерете стойностите на параметъра "b" , за които [tex](x_{1}-b)(x_{2}-b)[/tex] не зависи от "a".

а) подточка знам как се решава , но б) не се сещам какво трябва да се направи...ако може малко помощ.

[Реклама]

[ганка симеонова]

аз ще се пробвам, дори това, кпоето напиша да е пълна глупост...
ако е така, надявам се някой да ме корегира..
да разкрием скобите на израза и чрез прилагане на формулите на виет ще получим:

[tex]g(a)=\frac{2a-1}{a-1 }-\frac{a+1}{ a-1}b+b^{2} [/tex]

мисля си, че този израз да не зависи от а, трябва при две произволно избарни за а стойности да остава един и същ. тогава нека на а дадем например 2 и 0. ще получим:

[tex]g(2)=3-3b+b^{2} [/tex]

[tex] g(0)=1+b+b^{2} [/tex]

тогава трябва тези два израза да са равни. приравняваме ги и получаваме:

[tex]b=\frac{1}{2 } [/tex]

и наистина, ако заместим в израза, установяваме че се получава:

[tex]g(a)=\frac{7(a-1)}{4(a-1) }=\frac{7}{4 } [/tex], т.е. не зависи от а.
тук деля спокойно, защото е казано, че а не е 1

[martosss]

Уравнението [tex](a-1)x^{2} - (a+1)x + 2a - 1 = 0[/tex] има корени [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex]:

Решение:
а) в условието е казано, че уравнението има 2 корена, тоест то не е линейно, тоест кофициента пред х² не е равен на 0 => a-1≠0=>a≠1 !

Когато а-1>0 функцията е парабола "с рогата на горе" и за да е изпълнено условието трябва f(1)>0
Когато а-1<0 функцията е парабола "с рогата на долу" и за да е изпълнено условието трябва f(1)<0

И в двата случая имаме (a-1)*f(1)>0
Освен това трябва върха на функцията да е на ляво от 1, тоест [tex]\red \frac{-b}{2a}<1[/tex]
Също така уравнението трябва да има два различни корени, тоест [tex]\red D>0[/tex]
От тук образуваме системата:
[tex]\begin{tabular}{|l}-\frac{b}{2a}<1\\(a-1)*f(1)>0\\D>0 \end{tabular} \Leftright \begin{tabular}{|l}\frac{a+1}{2(a-1)}<1\\(a-1)*((a-1)-(a+1)+2a-1)>0\\(a+1)^2-4*(a-1)*(2a-1)>0 \end{tabular} \Leftright \begin{tabular}{|l}\frac{a+1-2a+2}{2(a-1)}<0\\(a-1)*(2a-3)>0\\-7a^2+14a-3>0 \end{tabular} \Leftright \begin{tabular}{|l}\frac{a-3}{a-1}>0\\a\in (-\infty;1 )\cup (\frac{3}{2};+\infty )\\D'=7*4^2,a_{1,2}=\frac{7\pm 2\sqrt{7}}{7} \end{tabular} \Leftright [/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l} a\in (-\infty ; 1)\cup (3 ; +\infty )\\a\in (-\infty;1 )\cup (\frac{3}{2};+\infty )\\a\in (1-\frac{2}{\sqrt{7}} ; 1+\frac{2}{\sqrt{7}}) \end{tabular}[/tex].
Окончателно [tex]a\in (1-\frac{2}{\sqrt{7}};1)[/tex]

П.П. колежке, ще те корИгирам

П.П. така как е

П.П. Така вече трябва да е добре

[ганка симеонова]

нарто, ще ядеш бой!!!
казано е , че уравнението има корени!
Д не е необходима
за какво ще ме корегираш?
аз все пак съм решила б)

[martosss]

необходимо е , може корените да съвпадат

[ганка симеонова]

не е !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Garoll]

б) подточка ме интересуваше.а) я написах само за пълнота на задачата.
Мерси много за решението на б) , това е и отговорът
А също а) подточка не си я решил правилно...

[ганка симеонова]

YES!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Garoll]

А бе а) е доста грешно написана...само методът е верен.

[martosss]

[Garoll]

Пак не е така

[Infernum]

[ганка симеонова]

Infernum, благодаря ти..
Ето, затова се чувствам прекрасно, в този форум..
Преди време, в 10 клас решавам задача, за намиране елементи на успоредник.
Търсеше се косинуса на острия ъгъл м/у диагоналите..
Аз вместо да приложа формулата за диагоналите, щото търсех единия:

[tex] d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2( a^{2}+b^{2}) [/tex]

във вихъра записах

[tex]2(d_{1}^{2}+d_{2}^{2})=a^{2}+b^{2} [/tex]

не се усещам, докато не получих двоен парадокс за косинуса на остър ъгъл..
1) отрицателно число
2) по модул по- голямо от 1

казвам: ученици, аз сгафих.
ако някой ми каже:
1) как разбрах, че съм сгафила и
2) къде ми е грешката
тутакси му пиша 6
........

тишина....

[Infernum]

[Garoll]

Между другото отговорът на а) е [tex] 1-\frac{2}{\sqrt{7} } <a<1[/tex],което няма как да се получи ако не се сметне дискриминантата да е положителна...Според мен дискриминантата си е необходима.Казано е , че уравнението има корени , но все пак трябва да видим кога?

[Infernum]

Щом x₁ < x₂, то a ≠ 1.
Тогава уравнението може да се запише във вида f(x)=0, където

[tex]f(x)=x^2-\frac{a+1}{a-1}x+\frac{2a-1}{a-1}[/tex].

Тогава търсените стойности на параметъра се определят от неравенствата
[tex]f(1)>0 \ , \ \frac{x_1+x_2}{2}<1[/tex] и [tex]f \left( \frac{x_1+x_2}{2} \right)<0[/tex].
Първото неравенство е еквивалентно на неравенството [tex]\frac{2a-3}{a-1}>0[/tex], второто - на [tex]\frac{3-a}{a-1}<0[/tex], третото - на [tex]7a^2-14a+3<0[/tex].
Като се пресекат решенията се получава [tex]1-\frac{2}{\sqrt{7}}<a<1[/tex].