3 геометрични задачи за правоъгълен и равнобедрен триъгълник

[beti]

Зравейте!
Моля да ми помогнете за решаването на няколко задачи.

.Даден е правоъгълен триъгълник ABC със страна а=4,b=3,CH-височина към хипотенузата.Окръжности к1(O₁ ,r₁ ), k2 (O₂ ,r₂ )са вписани съответно в триъгълници AHC,HBC.Намерете разстоянието между центровете на окръжностите.


2.Даден е равнобедрен ▲ABC с r=2,AB=4√3.Докажете, че триъгълникът е равностранен.

3.Даден е равнобедрен триъгълник ABC с височини ha=10,hb=15.Намерете AB.

[Реклама]

[martosss]

Зад.2) Означаваш пресечните точки на окръжността с АВ, ВС и АС съответно К, М, Р, центъра на окръжността е О, АС=ВС, АВ=4√3, r=2.

понеже триъгълникът е равнобедрен, то СО е ъглополвяща, медиана и височина, тоест е перпендикулярно на АВ и съвпада с допирателната от О към АВ.
означаваме СМ=х, трябва да докажем, че х=2√3.

Имаме ОК=ОМ=ОР=r=2, КВ=АК=1/2AB=2√3, КВ=ВМ=2√3(допирателни към окр.)

От Питагоровата теорема за ▲ОМС намираш ОС=[tex]\sqrt{x^2+4}[/tex]

Правиш питагорова теорема за ▲КВС - КВ²+KC²=BC² <=> 12+(2+[tex]\sqrt{x^2+4}[/tex]²=(x+2√3)²
12+4+x²+4+4[tex]\sqrt{x^2+4}[/tex]=x²+x4√3+12
x√3-2=[tex]\sqrt{x^2+4}[/tex] /² , x≥2/√3
3x²-4√3*x+4=x²+4 <=> x²-2√3*x=0 => x=2√3 => ВС=4√3 => ВС=АВ но и АС=ВС => ▲АВС е равностранен

[r2d2]

Малко по-просто: АО е ъглопол., тогава [tex]\tan \angle OAK = \frac {OK}{AK} = \frac{1}{\sqrt {3}} \Rightarrow \angle OAK=30^o[/tex]