Една задача

[sabrosa]

Поради ред причини, свързани със спорта, пропуснах много от часовете по математика тази година и понеже завършвам малко нелогично учението остана на заден план. Таааа, както се сещате 2 седмици преди края на срока нямам оценки по ЗИП математика и ми дадаха домашно, което както се сещате, не мога да реша. Имам алгоритъм, но дори и с него не се оправям, което е странно, защото съм от схватливите. Стана малко дълго, малко лично и доста нагло, но ако някой има време и възможност да реши двата примера по долу ще съм му безкрайно благодарен.
Ето и двата примера, трябва да се изследва функцията:
1. f(x) = - 2x³ + 12x - 11
2. f(x) = x - 3 върху 2 + 3x

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]f(x)=-2x^3+12x-11 \Rightarrow f'(x)=-2(x^3)'+(12x)' \Leftrightarrow f'(x)=-2.3.x^2+12.x' \Leftrightarrow f'(x)=12-6x^2 \Leftrightarrow f'(x)=6(2-x^2)[/tex]
Дадената функция е дефинирана за всяко реално [tex]x[/tex], не е нито четна, нито нечетна, защото [tex]f(x)\neq f(-x)[/tex] и [tex]f(-x)\neq -f(x)[/tex], не е и периодична. От първата производна, пресметната по-горе, получаваме двете неравенства [tex]f'(x)>0[/tex] и [tex]f'(x)<0[/tex], с помощта на които установяваме монотонността на функцията (т. е. дали расте, или намалява):
[tex]*\, 6(2-x^2)>0 \Leftrightarrow (\sqrt{2}+x)(\sqrt{2}-x)>0 \Leftrightarrow x\in (-\sqrt{2};\sqrt{2}) \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f(x)\nearrow[/tex];
[tex]*\, 6(2-x^2)<0 \Leftrightarrow (\sqrt{2}+x)(\sqrt{2}-x)<0 \Leftrightarrow x\in (-\infty;-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};+\infty) \Rightarrow f(x)<0 \Rightarrow f(x) \searrow[/tex].
Две са стойностите, за които първата производна става нула. Тогава само в тези две точки функцията може да има екстремуми. Тъй като производната сменя знака си от [tex]-[/tex] в [tex]+[/tex] при [tex]-\sqrt{2}[/tex], то това е точка на локален минимум; а в [tex]\sqrt{2}[/tex] сменя знака си от [tex]+[/tex] в [tex]-[/tex], което показва, че това е точка на локален максимум. Сега пресмятаме: [tex]f_{\min}=f(-\sqrt{2})=8\sqrt{2}-11; f_{\max}=f(\sqrt{2})=-8\sqrt{2}-11[/tex].
Вдлъбнатостта на функция се определя от неравенствата [tex]f''(x)>0[/tex] и [tex]f''(x)<0[/tex], където с [tex]f''(x)[/tex] сме отбелязали втората производна. В нашия случай [tex]f''(x)=-(6x^2)'=-6(x^2)'=-6.2.x=-12x[/tex]. Решаваме [tex]-12x>0 \Leftrightarrow x<0[/tex] и получаваме, че тук функцията е изпъкнала, а от [tex]-12x<0 \Leftrightarrow x>0[/tex] следва, че функцията е вдлъбната.

[tex]f(x)=\frac{x-3}{3x+2} \Rightarrow x\neq -\frac{2}{3}; f'(x)=\frac{(x-3)'(3x+2)-(x-3)(3x+2)'}{(3x+2)^2} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{11}{(3x+2)^2}[/tex]
Сега имаме [tex]f'(x)>0[/tex] за всяко [tex]x\neq -\frac{2}{3}[/tex], т. е. функцията е растяща в цялата си дефиниционна област. Тъй като няма критични точки за първата производна, то дадената функция няма екстремуми. Функцията не е нито четна, нито нечетна, нито периодична.
Определяме втората производна: [tex]f''(x)=-\frac{11[3x+2)^2]'}{(3x+2)^4} \Leftrightarrow f''(x)=-\frac{66}{(3x+2)^3}[/tex]. Решавайки последователно [tex]f''(x)>0[/tex] и [tex]f''(x)<0[/tex], намираме кога функцията е вдлъбната и кога е изпъкнала: [tex]x<-\frac{2}{3} \Rightarrow[/tex] функцията е изпъкнала, [tex]x>-\frac{2}{3} \Rightarrow[/tex] функцията е вдлъбната.
Сега, тъй като тази функция има една особена точка – точката [tex]-\frac{2}{3}[/tex], то пресмятаме следните граници:
[tex]*\, \lim_{x\to +\infty}\frac{x-3}{3x+2}=\frac{1}{3};[/tex]
[tex]*\, \lim_{x\to -\infty}\frac{x-3}{3x+2}=\frac{1}{3}[/tex],
тоест [tex]\lim_{x\to \pm \infty}\frac{x-3}{3x+2}=\frac{1}{3}[/tex], което показва, че [tex]f(x)[/tex] има хоризонтална асимптота с уравнение [tex]y=\frac{1}{3}[/tex] (червената линия на графиката е хоризонталната асимптота).
Установяваме дали има вертикална асимптота:
[tex]\lim_{x\to -\frac{2}{3}\\x>0}\frac{x-3}{3x+2}=-\frac{11}{3}:+\infty=-\infty;[/tex]
[tex]\lim_{x\to -\frac{2}{3}\\x<0}\frac{x-3}{3x+2}=-\frac{11}{3}:-\infty=+\infty[/tex] – или [tex]\lim_{x\to a}f(x)=\pm \infty[/tex]. Функцията има вертикална асимптота [tex]x=-\frac{2}{3}[/tex].
Очевидно е, че функцията няма наклонена асимптота, защото [tex]\lim_{x\to \pm \infty}f(x)\neq \pm \infty[/tex].
Като за финал да определим в кои точки графиката пресича двете координатни оси:
– с [tex]Ox \Rightarrow y=0 \Rightarrow \frac{x-3}{3x+2}=0 \Rightarrow x=3[/tex];
– с [tex]Oy \Rightarrow x=0 \Rightarrow y=\frac{0-3}{3.0+2} \Leftrightarrow y=-\frac{3}{2}[/tex].
Точките са [tex]M(3;0)[/tex] и [tex]N(0;-\frac{3}{2})[/tex].