Задачка от матура

[Hellfire]

Периметърът на триъгълник е 30, а радиусът на вписаната му окръжност е √3. Да се намерят страните на триъгълника, ако един от ъглите му е с мярка 120°

[Реклама]

[ObsCure]

Нека

<BAC=120°

Тогава

S▲_ABC=[tex]\frac{b.c.sin120^\circ }{2}=\frac{b.c.\sqrt{3}}{4}[/tex]

Сега определяме

p=P/2=15см

S▲_ABC=p.r=15[tex]\sqrt{3}[/tex]

Изразяваме лицето по 2 начина и ще получим

bc=60

Прилагаме косинусовата теорема за a и получаваме

a=[tex]\sqrt{b^{2}+c^{2}+bc}[/tex]

И така...

a+b+c=30

[tex]\sqrt{b^{2}+c^{2}+bc}[/tex]+b+c=30

Изразът под радикала може да се представи като

[tex]\sqrt{(b+c)^{2}-bc}[/tex]+b+c=30

Полагаме b+c=t,намираме b+c,правим система с b+c и bc,и нататък е ясно.

P.S.Използвани са стандартни означения.

[ганка симеонова]

може да се мине и по- тънко, като се ползват формулите за допирателни отсечки....