Перпендикулярни медиани

[Spider Iovkov]

Даден е триъгълник с перпендикулярни медиани [tex]m_{a}[/tex] и [tex]m_{b}[/tex]. Да се докаже, че с трите медиани на триъгълника може да се построи правоъгълен триъгълник.

Много хубава и приятна задача, която се решава по два начина... поне според мен. Някога е давана на републикански кръг на олимпиада, но това не означава, че е с изключителна трудност, напротив.

[Реклама]

[Пафнутий]

Първото, което ми идва на акъла е- ако означим медицентъра с [tex]G=>\Delta ABG (\angle AGB=90^\circ ) [/tex] Това ли е първия случай

[vel.angelov]

И аз мисля като Станислав-знаем че: AG=[tex]\frac{2}{3 } [/tex]ma; BG=[tex]\frac{2}{3 }[/tex]mb ; и ако означим с М пресечната точка на mc и AB-
GM=[tex]\frac{1}{ 3}[/tex] mc -където GM e медиана в правоъгълен ▲=>AB=2GM;
и вече като знаем 3-те страни на ▲ABG можем да го построим;
ако се сетя за 2-ри на1ин ще пиша

[vel.angelov]

Сетих се :
Нека ma пресича BC в т.А₁ и mb пресича AC в т.В₁:
да рагледаме елементите на ▲В₁А₁G
В₁А₁=[tex]\frac{1}{ 2}[/tex] AB=[tex]\frac{1}{ 3}[/tex] mc;
GА₁=[tex]\frac{1}{3 }[/tex] ma
GВ₁=[tex]\frac{1}{3 }[/tex]mb
=>▲В₁А₁G е построим зачото знаем 3 негови страни

[Spider Iovkov]

Трябва да се построи правоъгълен триъгълник, тоест [tex]a^2+b^2=c^2[/tex]. Иначе е така, това е един от начините. Посредством двете медиани и правоъгълния триъгълник, образуван от тях, може да се намери третата медиана и оттам да се провери верността на равенството. Поне това написах аз в решението, а и вие, . Другият начин е малко по-сложен и гаден, но оставям вие да го откриете.

[cub]

тук мисля, че се вижда