Няколко интересни задачки

[complex]

1. Дадена е редицата с общ член [tex]a_{n}=\frac{2n-3}{n } [/tex] . За кои стойности на n: [tex]\left| a_{n} -2 \right| <0,1[/tex]

2. Да се напишат първите 5 члена на числовата редица {a_n} и да се изрази поне по един начин {a_n} чрез n:
[tex]a_{1}=1[/tex] [tex]a_{n+1}=-a_{n}[/tex] n≥1

[Реклама]

[Ma6irinata]

1 зад. : Сигурен ли си , че не е 2.n-3 , а не индекс n на двойката ?

2 зад. : а₁=1 ; a₂=-1 ; a₃=1 ; a₄=-1 ; a₅=1

a₁=1 ; а_2n=-1 ; a_2n+1=1 , където n е естествено число .

[ганка симеонова]

по първа задача:

[tex] |\frac{2n-3}{n }-2|<\frac{1}{10 } [/tex]

[tex]|\frac{3}{ n}|<\frac{1}{10 } [/tex]

[tex]\frac{3}{ n}<\frac{1}{10 }=>n>30 =>n\ge 31 [/tex]

по втора задача. предното решение е абсолютно вярно, но може да се синтезира в:

[tex]a_{n}=(-1)^{n+1} [/tex]

[Infernum]

Между другото смисълът на задачка 1 е следния.
Ако се твърди, че числото 2 е граница на редицата a_n, то трябва да се докаже, че за произволно избрано положително число [tex]\epsilon[/tex], може да се намери число m, такова, че за всички членове на редицата a_n, с номера n > m, да бъде изпълнено неравенството [tex]|a_n-2|<\epsilon[/tex].
Всичко това означава, че ако се вземе произволно [tex]\epsilon[/tex], то тогава за това [tex]\epsilon[/tex] ще се намери номер, такъв че всички членове на редицата с номера по-големи от него, ще попадат в интервала [tex](2-\epsilon \ , \ 2+\epsilon)[/tex].
В конкретната задачка се търсят именно стойностите на n (номерата на членовете на редицата), при които последното неравенство ще бъде изпълнено за [tex]\epsilon=0.1[/tex].
Като се вземе предвид общия член на редицата, може да се запише
[tex]|a_n-2|=\left|\frac{2n-3}{n} -2\right|=\left|\frac{2n-3-2n}{n}\right|=\frac{3}{n} [/tex]
Тогава неравенството [tex]|a_n-2|<\epsilon[/tex] е същото като неравенството [tex]\frac{3}{n}<\epsilon[/tex]. Тогава за всички номера n, за които [tex]n>\frac{3}{\epsilon}[/tex] неравенството е изпълнено. За числото m може да се избере най близкото цяло число до числото [tex]\frac{3}{\epsilon}[/tex].
Например за [tex]\epsilon=0.1[/tex] излиза, че за всички членове с номера [tex]n>m=\frac{3}{0.1}=30[/tex] е в сила [tex]|a_n-2|<0.1[/tex].
Това означава, че всички членове от тридесет и първия нататък, попадат в интервала (1.9, 2.1).
Ако на [tex]\epsilon[/tex] се даде друга стойност, например [tex]\epsilon=0.02[/tex], то тогава всички членове с номера [tex]n>m=\frac{3}{0.02}=150[/tex] е в сила [tex]|a_n-2|<0.02[/tex] или всички членове след членът с номер 150 (членовете от 151-вия нанатък) попадат в интервала (1,98, 2,02).
Разбира се в конкретния случай, колкото и малки стойности да се дават на числото [tex]\epsilon[/tex], винаги ще се намира номер, при който всички членове с номера по-големи от него, ще се отличават от числото 2 с число по-малко от [tex]\epsilon[/tex].
Това разбира се обяснява факта, че редицата a_n е сходяща и нейната граница е числото 2.