Още три интеграла от новите ми находки

[ins-]

1.
[tex]\int \ x\sqrt{\frac{2sin(x^{2}+1)-sin(2x^{2}+1)}{2sin(x^{2}+1)+sin(2x^{2}+1)}}\,dx[/tex]

2.
[tex]\int \ \frac{1}{(x^{2}+a^{2})\sqrt{x^{2}+b^{2}}}\,dx[/tex] (|b|>|a|)

3.
[tex]\int \ \frac{cosx+xsinx}{(x+cosx)^{2}}\,dx[/tex]

[Реклама]

[ins-]

Интеграл 1 или е грешен, или е много труден.
Интеграл 2 не е от най-лесните, но ако не е стандартен си го бива.
3 не е труден.
Има ли нужда от жокери?

[ганка симеонова]

хммммм, голям бързак си...
изчакай малко, идеите, ако има такива, да се избистрят...
дай малко реверанс..
празници са все пак..

[ins-]

в България всеки ден е празник.

[Infernum]

Аз мисля, че първият е грешен, но може и аз да греша.

[Infernum]

По третия:

[tex]\int_{}\frac{\cos x+x\sin x}{(x+\cos x)^2}dx=\int_{}\frac{x+\cos x+x\sin x-x}{(x+\cos x)^2}dx=\int_{}\frac{dx}{x+\cos x}-\int_{}x\frac{1-\sin x}{(x+\cos x)^2}dx=\int_{}\frac{dx}{x+\cos x}+\int_{}xd\left(\frac{1}{x+\cos x}\right)=[/tex]

[tex]=\int_{}\frac{dx}{x+\cos x}+\frac{x}{x+\cos x}-\int_{}\frac{dx}{x+\cos x}+C=\frac{x}{x+\cos x}+C[/tex]

[Infernum]

По втория.

Извършва се смяната [tex]x=|b|\sinh t[/tex].

Тогава интегралът се свежда до [tex]\int_{}\frac{dt}{b^2\sinh^2t+a^2} [/tex]

Като се вземе предвид, че [tex]\sinh^2 t=\frac{e^{2t}+e^{-2t}-2}{4}[/tex], интегралът добива вида

[tex]4\int_{}\frac{dt}{b^2(e^{2t}+e^{-2t})+2(2a^2-b^2)}=4\int_{}\frac{e^{2t}dt}{b^2e^{4t}+2e^{2t}(2a^2-b^2)+b^2}=\frac{2}{b^2}\int_{}\frac{dp}{p^2+2\left(2\frac{a^2}{b^2}-1 \right)p+1}=\frac{2}{b^2}\int_{}\frac{ds}{s^2+4\frac{a^2}{b^2}\left(1-\frac{a^2}{b^2}\right)},[/tex]

където [tex]p=e^{2t}[/tex], [tex]s=p+2\frac{a^2}{b^2}-1.[/tex]

Тъй като по условие |b| > |a|, то [tex]1-\frac{a^2}{b^2}>0[/tex].
Тогава

[tex]\frac{2}{b^2}\int_{}\frac{ds}{s^2+4\frac{a^2}{b^2}\left(1-\frac{a^2}{b^2}\right)}=\frac{2}{b^2}\int_{}\frac{ds}{s^2+\left(2\frac{|a|}{|b|}\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\right)^2}=\frac{1}{|a|\sqrt{b^2-a^2}}\arctan{\frac{b^2s}{2|a|\sqrt{b^2-a^2}}}=\frac{1}{|a|\sqrt{b^2-a^2}}\arctan{\frac{b^2e^{2t}+2a^2-b^2}{2|a|\sqrt{b^2-a^2}}}[/tex]

Като се вземe предвид обратната смяна, за намерената примитивна се получава

[tex]\int_{}\frac{dx}{(x^2+a^2)\sqrt{x^2+b^2}}=\frac{1}{|a|\sqrt{b^2-a^2}}\arctan\left(\frac{b^2e^{2\sinh^{-1}{\frac{x}{|b|}}}+2a^2-b^2}{2|a|\sqrt{b^2-a^2}}\right)+C.[/tex]

[ins-]

Ето и един човек, който не е празнувал.

Интеграл 1 най-вероятно е грешен. Гледах интегралите в един сайт, но беше късно вечерта...

[Infernum]

[ins-]

Човекът не е празнувал щото е положил доста труд. (празнувал е синоним на мързелувал най-често по тези географски ширини).