Здрав интеграл

[ins-]

От отдавна не бях пускал задача във форума. Това е последната ми находка. Надявам се да Ви хареса и някой да го реши.
[tex]\int \ \frac{(x-1)\sqrt{x^{4}+2x^{3}-x^{2}+2x+1}}{x^{2}(x+1)}\,dx[/tex]

[Реклама]

[ганка симеонова]

случайно под корена знакът пред 2х да е -?

[ins-]

Не е. Интегралът не е сгрешен. Какво, ако беше? (Питам, защото с такива въпроси може да се получи по-интересен интеграл от началния.) Има ли нужда от жокери?

[ганка симеонова]

засега разложих подкоренната величина на два прекрасни тричлена
и ще видя, как ще го излъжа, този красавец

[ins-]

Браво! Само да не ти "глътне" много време. Аз имам решение - пуснах го, защото се кефя на гадни интеграли и си имам колекция - до момента са 200-250. Този го намерих вчера.

[ганка симеонова]

аз първо ще преобразува подинтегралната функция...

[tex]\frac{x-1}{x^{2}(x+1) }\sqrt{(x^{2}-x+1)(x^{2}+3x+1)} [/tex]
от двата квадратни тричлена изнасям по един х, т.е. пред корена изнасям х. получавам:

[tex]\frac{x(x-1)}{x^{2}(x+1) }\sqrt{(x+\frac{1}{x }-1)(x+\frac{1}{x }+3) } [/tex]

след това умножавам и деля на (х+1). тогава получаваме пред корена множител

[tex] \frac{x}{x^{2}+2x+1 }.\frac{x^{2}-1}{x^{2} } [/tex]

забелязваме, че вторият множител е интеграл на функцията [tex]x+\frac{1}{x }[/tex], така че ще го внесем под знака на диференциала. х, който остава в числител ще го разделим на [tex]x^{2}+2x+1 [/tex] тогава интефрала ще има вида:

[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{x+\frac{1}{x}+2 }\sqrt{(x+\frac{1}{x }-1)(x+\frac{1}{ x}+3) }d(x+\frac{1}{x }) [/tex]

остава да положим [tex]x+\frac{1}{x }=u [/tex]

тогава вече остава да решим един рутинен интеграл:

[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{u+2 }\sqrt{(u-1)(u+3)}du [/tex], който оставям на студентите

[ins-]

Браво! Друг начин е с t=x+1/x+1, но ... като се замисля и с произволна константа ще е почти същото...