Несъкратими дроби

[Spider Iovkov]

Да се докаже, че сумата (разликата) на две несъкратими дроби с различни знаменатели не може да бъде цяло число.

[Реклама]

[Ma6irinata]

Нека едната дроб да е [tex] \frac{a}{b} [/tex] и другата - [tex] \frac{c}{d}[/tex] .
Щом те са несъкратими , то а не дели b и c не дели d.Също по условие [tex]b\ne d .[/tex].И тъй като това са дроби , b > 1 , d > 1.

[tex] \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} . [/tex]

d дели ad => за да бъде [tex]\frac{ad+bc}{bd}[/tex] цяло число , трябва d да дели bc. d не дели c => НОД ( b;d ) [tex] \ne [/tex] 1. Но ако например b дели d (b<d) , то
при съкращаване на дробта с b ще се получи [tex]\frac{a\frac{d}{b}+c}{d} [/tex] , което не се дели на d => няма да е цяло число . Аналогично се доказва с b и случаят с разликата .