показателно уравнение

[ганка симеонова]

Дa се реши уравнението:

[tex](26+15\sqrt{3})^{x}-5(7+4\sqrt{3})^{x}+6(2+\sqrt{3})^{x}+(2-\sqrt{3})^{x}=5 [/tex]

[Реклама]

[r2d2]

[tex]26+15\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^3[/tex]

[ObsCure]

И

7+4[tex]\sqrt{3}[/tex]=(2+[tex]\sqrt{3}[/tex]) ²

Също така

2-[tex]\sqrt{3}[/tex]=[tex]\frac{1}{2+\sqrt{3}}[/tex]

[Ma6irinata]

[tex] (26+15\sqrt{3})^{x} - 5(7+4\sqrt{3})^{x} + 6(2+\sqrt{3})^{x} + (2-\sqrt{3})^{x} = 5 .[/tex]

[tex](26+15\sqrt{3}) = (2+\sqrt{3})^{3} ; (7+4\sqrt{3}) = (2+\sqrt{3})^{2} ; (2-\sqrt{3} = \frac{1}{(2-\sqrt{3}}) [/tex], както вече беше казано =>

[tex](2+\sqrt{3})^{3x} + (2+\sqrt{3})^{2x} + (2+\sqrt{3})^{x} + 1/(2+\sqrt{3})^{x} = 5[/tex]
Полагаме [tex](2+\sqrt{3})^{x} = u [/tex] и умножаваме двете страни по u :
[tex]u^{4} - 5u^{3} + 6 u^{2} - 5u + 1[/tex] , което е реципрочно уравнение .
[tex](u+\frac{1}{u} ) = k . [/tex]Получава се [tex]k_{1} = 1 ; k_{2} = 4.[/tex]
Оттук [tex]u_{1} = (2+\sqrt{3}) ; u_{2} = (2-\sqrt{3}) [/tex]=>
[tex](2+\sqrt{3})^{x} = (2+\sqrt{3})[/tex] => [tex]x_{1} = 1.[/tex]
([tex]2+\sqrt{3})^{x} = (2-\sqrt{3}) [/tex]=> [tex]x_{2} = -1[/tex].
Отговор : [tex]x_{1} = 1 ; x_{2} = -1.[/tex]