х,у..

[ганка симеонова]

Да се реши системата, ако х и у са цели числа:

[tex]|x^{2}+y^{2}=225 [/tex]
[tex]|3x+17y=189 [/tex]

[Реклама]

[martosss]

е ми ... щом трябва да са цели непременно.... може да видим сборът от квадратите на кои числа дава 225.... като направим проверка се оказва, че единствената двойка числа са 81 и 144, тоест x=9 и y=12 или x=12 и y=9.
Нека видим второто уравнение.. ако х=9 у=12 то не е изпълнено, ако х=12 и у=9 то е изпълнено => уравнението е изпълнено
ако едно от двете числа е отрицателно също не става, така че единствената двойка е 12, 9

[Пафнутий]

Това точно с Питагорова тройка се решава [tex]9,12,15[/tex]

[Spider Iovkov]

Умножаваме първото уравнение с 3, а второто умножаваме с х и изваждаме почленно, след което получаваме:
[tex](189-17y)x=675-3y^2 \Rightarrow x=\frac{675-3y^2}{189-17y}[/tex]
Заместваме този израз за х в по-простото уравнение, тоест във второто. Така достигаме до:
[tex]149y^2-3213y+16848=0[/tex]. Единственият цял корен на това уравнение е [tex]y=9[/tex]. Оттук получаваме и съответната стойност на х: [tex]x=12[/tex].
[tex]\Rightarrow (x;y), (12, 9)[/tex]

[r2d2]

Ако сумата от квадратите на две цели числа се дели на 9, то двете числа се делят на 3 (докажете!). Тогава [tex]x=3u \; y=3v[/tex]. Първото у-ние става: u^2+v^2=25, а второто: 9u +51v=189.

Oт второто у-ние е ясно, че v=3t. Получаваме:
[tex]u^2+9t^2=25[/tex]
[tex]u+17t=21[/tex]
с единстено решение [tex]u=4, \; t=1[/tex]

[r2d2]