m=?

[ганка симеонова]

Да се намерят всички стойности на параметъра m, за които уравнението

[tex](x-m)^{2}[m(x-m)^{2}-m-1]=-1 [/tex]

има повече положителни, отколкото отрицателни корени.

[Реклама]

[martosss]

Офф много са уплаших като го видях, ама то не било трудно

[tex](x-m)^2[m(x-m)^2-m-1]=-1[/tex]

Полагаме (x-m)²=k, k≥0.

k(mk-m-1)=-1

mk²-(m+1)k+1=0

1)m=0 => k=1

=> x²=1 U x²=1

x₁=-1 ; x₂=1 ; x₃=-1 ; x₄=1

имаме 2 положителни и 2 отрицателни корена => условието не е изпълнено - m=0 не е решение !

2)m≠0 => D=(m+1)²-4m=(m-1)²≥0 за всяко m =>

k_1,2=[tex]\frac{m+1\pm (m-1)}{2m}[/tex]

k₁=1 ; k₂=[tex]\frac{1}{m}[/tex]

(x-m)²=1 U (x-m)²=1/m
_
| - m<0 => второто уравнение няма решение, първото има 1 пол. и едно отр. и
¯условието не е изпълнено
__
|| - m>0 => x²-2mx+m²-1=0 U mx²-2m²x+m³-1=0
¯¯
D₁=4 , D₂=4m

x_1,2=m±1 ; x_3,4=m±[tex]\frac{1}{\sqrt{m}}[/tex]

при х=1 имаме 2 решения х=0 и две решения х=2 => условието е изпълнено
при х [tex]\in [/tex] (0;1) имаме две положителни и 2 отрицателни => не е изпълнено
при х >1 имаме 4 положителни решения и условието е изпълнено

Окончателно получихме x=1 и x>1 => [tex]x\in [1;+\infty )[/tex]

[ганка симеонова]

[tex] m>0 =>x_{1,2}=m\pm 1 , x_{3,4}=m\pm \frac{1}{\sqrt{m} } [/tex]

от тук насетне трябва да се разгледат подслучаите:

1) [tex] 0<m<1 [/tex]
2) [tex] m=1 [/tex]
3)[tex] m>1 [/tex]

и окончателно търсените стойности ще са [tex] m\in [1;+\infty ) [/tex]

[Infernum]

[ганка симеонова]

[martosss]