Равнобедрен триъгълник

[Spider Iovkov]

Даден е равнобедрен триъгълник [tex]ABC[/tex], в който ъгъл [tex]ACB=20[/tex]. Върху бедрото [tex]CA[/tex] е нанесена отсечка [tex]CM=AB[/tex]. Да се намери големината на ъгъла [tex]ABM[/tex].

Аз я решавам с косинусова теорема, но достигам до уравнение с тангенс, което не мога да реша: [tex]tg(10+x)=2cos20-1[/tex]. Не я решавам със синусова теорема, защото в справочника е решена така. Там пише да пробваме дали може да се реши и с косинусовата. Явно може, но не мога да намеря корена на уравнението с тангенса.

[Реклама]

[ганка симеонова]

сигурен ли си , че уравнението ти е вярно.
напиши решението си, да видим..

[Pinetop Smith]

И с еднакви т-ци може

[ганка симеонова]

70 градуса ли е отг?

[Spider Iovkov]

Нека да прекараме права през точката [tex]M[/tex], успоредна на страната [tex]AB[/tex]. Да означим [tex]CM=AB=a[/tex] и [tex]AM=z[/tex]. За основния триъгълник прилагаме косинусова теорема:

[tex]AB^2=AC^2+BC^2-2.AC.BC.cos20,[/tex]
[tex]a^2=(a+z)^2+(a+z)^2-2.(a+z).(a+z).cos20, a^2=2(a+z)^2-2(a+z)^2cos20,[/tex]
[tex]a^2=2(a+z)^2(1-cos20),[/tex]
[tex]a^2=\sqrt{2}^2(a+z)^2\sqrt{1-cos20}^2,[/tex]
[tex]\frac{a^2}{(a+z)^2}=\sqrt{2(1-cos20)}^2,[/tex]
[tex](\frac{a}{a+z})^2=2(1-cos20),[/tex]
[tex]z=\frac{a(1-\sqrt{2(1-cos20)}}{\sqrt{2(1-cos20)}}.[/tex]
[tex]ABM=x.[/tex]


Чак сега обаче, като преглеждах отново решението, забелязах, че съм изпуснал корен, който сега добавих. За триъгълника [tex]ABM[/tex] прилагам синусова теорема и оттам преобразувам, като отново се получава тригонометрично уравнение. Иначе отговорът ... да, 70 градуса е.

[tex]\frac{AM}{sinx}=\frac{AB}{sin(80-x)}.[/tex]

[ганка симеонова]

след малко ще ти пусна чертеж, с едно класическо геометрично решение.
разкарай тази тригонометрия

[Spider Iovkov]

Мерси, но ме интересува и как ще се реши тригонометричното уравнение.

[ганка симеонова]

построяваме равностранен триъгълник АВО
тогава:
[tex]\angle OBC=20^\circ [/tex]
[tex]AC=BC; AO=BO=> CO[/tex]-симетрала на АВ. тогава:
[tex]\angle OCB=10^\circ [/tex]
[tex]\Delta MCB\approx \Delta OBC[/tex] по 1-ви признак=>
[tex]\angle MBC=\angle OCB=10^\circ =>\angle ABM=70^\circ [/tex]

[ганка симеонова]

евала на ники, че ме открехна с този готин равностранен триъгълник

[ганка симеонова]

сори, но така и не разбрах, какво е уравнението..

[Spider Iovkov]

Получава се след прилагане на синусова теорема за [tex]ABM[/tex]:

[tex]\frac{AM}{sinx}=\frac{AB}{sin(80-x)}[/tex].

[ганка симеонова]

от син, т-ма за АВС =>
[tex]\frac{b}{a }=\frac{sin80^\circ }{sin20^\circ }=\frac{cos10^\circ }{2sin10^\circ cos10^\circ }=\frac{1}{2sin10^\circ }=\frac{sin30^\circ }{sin10^\circ }= [/tex]

[tex]=\frac{sin(10^\circ +20^\circ )}{sin10^\circ }=\frac{sin10^\circ cos20^\circ +cos10^\circ sin20^\circ }{sin10^\circ }=cos20^\circ +sin20^\circ cotg10^\circ [/tex]

приложи сим. т-ма за ВМС, като означиш
[tex]\angle MBC=x[/tex]

[tex]\frac{b}{a }=\frac{sin(20^\circ +x)}{sinx}=.....=sin20^\circ cotgx+cos20^\circ [/tex]получаваме:

[tex]cotgx=cotg10^\circ =>x=10^\circ =>\angle ABM=70^\circ [/tex]

[Spider Iovkov]

Благодаря, но не разбрах мярката на ъгъла може ли да се намери с косинусовата теорема, или не?

[ганка симеонова]

направо ме разби, с тази косинусова теорема.
ще помисля, но честно казано изпитвам ужас от квадрати

[ганка симеонова]

всъщност, сега се сещам за едно свойство на страните на равнобедрен триъгълник с ъгъл при върха от 20 градуса, бедро b и основа а:

[tex]a^{3}+b^{3}=3ab^{2}[/tex]

пробвай и него да използваш. казвам го на прима виста, ще помисля...

[MuTaKa]

Тва с равностранния триъгълник е много симпатично... аз никога не бих се сетил, ма тва е щот съм дръвник!
Тъй като сме в раздел "тригонометрия", ше предложа нещо по-тригонометрично:
нека търсеният ъгъл означим с "?"

[tex]B_{ABC}[/tex]=[tex]B_{ABM}[/tex]+[tex]B_{BCM}[/tex]
[tex]B_{ABC}[/tex]=[tex]\frac{AB.BC.sin(80*)}{2 }[/tex]
[tex]B_{ABM}[/tex]=[tex]\frac{AB.BM.sin(?)}{2 }[/tex]
[tex]B_{BCM}[/tex]=[tex]\frac{AB.BC.sin(20*)}{2 }[/tex] (MC=AB)

тогава AB.BC.sin(80*)=AB.BM.sin(?)+AB.BC.sin(20*) <=>
BC(sin(80*)-sin(20*))=BM.sin(?)
От сбор от ъгли и синусова теорема за триъгълник BMC => BM=[tex]\frac{BC.sin(20*)}{sin(80*+?) }[/tex]
окончателно получаваме (sin(80*)-sin(20*)).sin(80*+?)=sin(20*).sin(?)

заб.: геометричния смисъл на съществуване на отсечките ни дава право да съкращаваме без проблем!

Тва немога да го реша.. нека некой друг опита!

[ганка симеонова]

да, ама Емо си иска косинусова теорема, въпреки че му предложих равностранен триъгълник и после му дадох и тригонометрично решение.
ама с тази косинусова и аз отпраших по допирателната...
брррр.....