Неравенство

[JusTok]

Да се докаже, че ако a, b и c са неотрицателни числа със сума 3, то:
[tex]\frac{a}{b^2+1 }+\frac{b}{c^2+1 }+\frac{c}{a^2+1 } \ge \frac{3}{2}[/tex]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Мисля, че неравенството е вярно при [tex]a=b=c=1[/tex].

[Saposto_MM]

Записваме неравенството във вида:
[tex]a+b+c-\frac{a}{b^{2}+1}-\frac{b}{c^{2}+1}-\frac{c}{a^{2}+1 }\le \frac{3}{2 } [/tex]
От тук
[tex]\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1}\le\frac{3}{2}[/tex]
Но знаем, че [tex]r^{2}+1\ge2r[/tex] за реални r и като разгледаме знаменталите получаваме, че лявата страна на по-горното неравенство е по-малка или равна на
[tex]\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ac}{2}[/tex].
Да разгледаме израза ab+ac+bc. Да фиксираме а. Тогава понеже a+b+c=3, то a(b+c) е фиксирано. Да разгледаме bc. Те са със фиксиран сбор следователно произведението им е максимално когато двете са равни. Това ознавава, че ab+ac+bc e максимално, когато a=b=c, следователно [tex]ab+ac+bc\le3[/tex]. Тогава
[tex]\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\frac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\frac{ca^{2}}{a^{2}+1}\le\frac{ab+ac+bc}{2}\le\frac{3}{2}[/tex], което трябваше да се докаже. Както каза Емо равенство при a=b=c=1.