Въпрос относно граница на функция

[Spider Iovkov]

Можете ли да ми обясните какво е това граница на функция? Аз имах един учебник и там се споменаваше за някаква точка на сгъствяне и някакви подобни, но не разбрах много добре. Извинете, ако темата е досадна и изглежда малоумна, но този материал е премахнат от програмата ми и не се учи. Как точно се изчисляват границите на функции? Аз знам едни формули за произведение, частно, сбор, ..., но ми е трудно да ги прилагам. Ще съм благодарен, ако драснете някой и друг ред.

[Реклама]

[martosss]

Това е наистина полезно, но едва ли някой ще се наеме да го обяснява защото го пише в учебници за 12 клас иначе ако имаш справочник.. това жълтото с таблиците на sin i cos... отвори на 46-та стр. там пише ... ам ане е обяснено много добре
На мен също ще ми е интересно да го прочета някъде

[ганка симеонова]

едно уточнение:
точка на сгъстяване имаме при редици:
ще се постарая да обясня понятието граница на ф-я, без стандартните дефиниции, защото надали ще ги разбереш...
нека разгледаме една простичка линейна функция:

[tex] y=x+4 [/tex]
ще започна да давам стойности на х, близки до 2
[tex] x=1,5=>y=5,5[/tex]
[tex] x=1,8 =>y=5,8[/tex]
[tex]x=1,9 =>y=5,9[/tex]
[tex]x=1,999=>y=5,999[/tex]
установяваме, че когато аргументът проближава неограничено близко до 2, стойностите на функцията стават неограничено близки до 6.
тогава 6 наричаме граница на ф-та при х, клонящо към 2
[tex] lim_{x->2}(x+4)=2+4=6 [/tex]
това, което направих се нарича директен граничен преход.
ако една функция е сбор(разлика) или произведение от функции, които имат граница в някаква точка, то границата и е съответно сбор(разлика) или произведение от границите на съответните функции.
ако една функция е частно на две функции, които имат граница в дадена точка, то и функцията има граница, в тази точка.
но, има една особеност. ако границите на числителя и знаменателя са 0, какво става с границата на самата функция.
тя очевидно не е [tex]\frac{0}{ 0} [/tex], защото това е неопределена форма. тук директният граничен преход е невъзможен. затова се стремим да разложим числителя и знаменателя на множители и да съкратим. давам пример:

[tex]lim_{x->1}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-1 }= lim_{x->1}\frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=[/tex]

[tex]=lim_{x->1}\frac{x-2}{x+1 }=\frac{1-2}{ 1+1} =-\frac{1}{2 } [/tex]

да разгледаме функцията [tex]y=x^{2}-4 [/tex] забелязваме, че когато аргументът става неограничено малък или неограничено голям(т.е. клони към минус или плюс безкрайност), стойностите на функцията стават неограничено големи. тогава тя няма граница, но казваме, че границата е плюс безкрайност.
как да намерим граница на функция, която е отношение на два многочлена, при х, клонящо към безкрайност?
изнасяме най- високата степен в числител и в знаменател и съкращаваме.
преди да дам пример, ще допълня, че функции от вида
[tex]\frac{a}{x^{n} }, n>0 [/tex], където а е произволно число, при х, клонящо към безкрайност имат граница 0.
такива функции наричаме безкрайно малки

[tex] lim_{x->\infty }\frac{2x^{3}-3x}{3x^{3}+1 }= lim_{x->\infty }\frac{x^{3}(2-\frac{3}{x^{2} }) }{x^{3}(3+\frac{1}{x^{3} } ) }=\frac{2-0}{3+0 }=\frac{2}{3 } [/tex]

в този пример степента на числителя и знаменателя е една и съща и тогава границата е отношение от коефициентите пред най- високата степен в числителя и знаменателя!

[tex]lim_{x->\infty }\frac{x^{2}-1}{x^{4}+1 }= lim_{x->\infty }\frac{x^{4}(\frac{1}{x^{2} }-\frac{1}{x^{4} }) }{x^{4}(1+\frac{1}{x^{4} }) }=\frac{0-0}{1+0 }=0 [/tex]

когато степента на числителя е по- малка от степента на знаменателя, границата на такава дробна функция винаги е 0
ако степента на числителя е по- голяма, от тази на знаменателя, границата е безкрайност.
има още много, какво да се каже за граници. например за лява и дясна граница...
ще допълня след време...

[Spider Iovkov]

Каква е границата на функцията [tex]x^2+3x-6[/tex]? Трябва ли отново да изберем прозвoлно число и спрямо него да следим "поведението" на функцията, като даваме стойности, произволно близки до избраното число?

[tex]x->1: x=1 \Rightarrow -2;[/tex]
[tex]x=0,5 \Rightarrow -4,25.[/tex]

[ганка симеонова]

при х, клонящо към колко? това трябва да е дадено в задачата

[martosss]

до колкото разбрах ако х-> 5 примерно заместваш с 5 и гледаш какво ще стане а пък ако х->∞ границата е... безкрайност

[M_Velinova]

Ох, от опростяване на така наречената Висша математика, ме хвана срам. Ами тя затова се нарича Висша - в нашия случай висш пилотаж в средното образование.
Трябва подготовка.
Как без да е осъзнато определението за граница на редица ще обясните граница на функция?

[ганка симеонова]

ти да не си мислиш, че мен не ме е срам!!!!
това е положението- параграф 22
знаеш, че вече този дял е изхвърлен от 1-во равнище, но се дава на изпити

[MuTaKa]