Геометрична задача от СУ 2002

[BeckhamStZ]

Значи задачата е от пъвия изпит през 2002 в СУ.
Нещо немога да и зацепя, незнам дали има някаква грешка. чертежа съм го построявал по отговорите дадени ми:

В т-к ABC ъглополовящите AA₁ и BB₁ се пресичат в точка О и около четириъгълника ОА₁CB₁ може да се опише окръжност. Лицето на този четириъгълник е [tex]27\sqrt{3} [/tex], а радиусът на описаната около него окръжност има дължина [tex]2\sqrt{7} [/tex]. Да се намерят дължините на страните на:
а) четириъгълника ОА₁CB₁ б) т-к ABC

Отговори: a) x=10 y=8 или x=8 y=10 ; б) а=15 b=24 c=21
ето и чертежа който направих по отговорите от б)
http://manutd-hooligan.eu/test.png
снимката е на моя компютър и може да има забавяне при отварянето й.
значи по отговорите от а) следва две по две страните на 4-ъгълника да са равни... а по чертежа не излиза така. аз успях да докажа че 2 от тях са равни. OA₁=OB₁ от тук нататък нещо не ми хрумва.

[Реклама]

[martosss]

На първо време тр. СОА1 и СОВ1 не са ли еднакви? имат обща страна СО, ъгъл гама/2 и ОА1 =ОВ1 , което вече си доказал, от където и другите две страни са равни
сега [tex]S_{OCA_1}+SACB_1}=SOA_1CB_1[/tex] и от тук изразавяш сбора от квадратите на ОА1 и ОС1 после намираш диагонала ОС, после ъгъл между диагоналите е 90 и намираш другия диагонал, прилагаш 2 косинусови теореми и намираш страните

[BeckhamStZ]

да ама това не е признак за еднаквост...
ъгъла трябва да е между двете страни... и тоз вариант го проверих. ако ъгъла не е между страните страната която е до ъгъла трябва да е по малка от тази срещу (4 признак)

[martosss]

Аз двете страни ведната ги намирам с синусовата теорема за триъгълник B1OC:
[tex]\frac{OB_1}{sin30^\circ }=2R \Right OB_1=\frac{1}{2}*2R=R=2\sqrt{7}[/tex]
[tex]B_1O=A_1O=R=2\sqrt{7}[/tex] другото нз

[BeckhamStZ]

е това по условие никаде не е дадено че ъглите са 30 градуса просто аз ги сложих да видя по колко са

[martosss]

ооо ти не си ли видял че са 30.... те се доказват че са 30... ето как... означаваш ъгъл АСВ=[tex]\gamma[/tex], после от това че [tex]OA_1CB_1[/tex] е вписан => ъгъл [tex]B_1AO_1=180-\gamma[/tex]
От друга страна ъгъл АВС+ъгъл ВАС=180-[tex]\gamma[/tex]
понеже АО и ВО са ъглополовящи ъгъл ВАО+ъгъл АВО=[tex]\frac{\angle BAC+\angle ABC}{2}=\frac{180-\gamma}{2}[/tex]
Сега ъгъл АОВ=180-ъгъл АВО-ъгъл ВАО=180-90+γ/2=90+γ/2
Сега приравняваме ъгъл АОВ=ъгъл [tex]A_1OB_1[/tex] и намираме [tex]\gamma=60^\circ [/tex]

[M_Velinova]

Ето решение за а):

[martosss]

мда, не ми се мислеше тригонометрия... иначе явно че нещо такова ще излезне... впрочем на 3-ти и 4-ти ред трябва да е ▲B₁OA₁

Вел, забележи нещо... тоя човек не успя сам да си сметне че ъгъл гама е 60 и му казах как е... За това ти говоря че трябва добри обяснения иначе браво за задачата !

[M_Velinova]

Да видях, че съм изпуснала индекса 1. Благодаря ти. Сега ще го поправя, за да е ясно.

[martosss]

Аз ей сега ще напиша решението на б), то не е толкова трудно щом си решил а)
Четириъгълника OA₁CB₁ може да се впише в окръжност =>

OC*A₁B₁=OB₁*A₁C+OA₁*B₁C (Теорема на Птоломей за незнаещите, въжи за вписан четириъгълник )

от тук намираме ОС=6√3

Сега означаваме АВ₁=х, АО=к

СО е ъглополовяща в ▲АА₁С =>

[tex]\begin{tabular}{|l}CO^2=AC*A_1C-AO*OA_1\\\frac{AO}{A_1O}=\frac{AC}{A_1C}\end{tabular}\Leftright \begin{tabular}{|l}54=80+8x-kR\\\frac{k}{R}=\frac{10+x}{8} \end{tabular} [/tex]
Това е система с 2 неизвестни, която ще решите сами(защото ме мързи а и трябва да се учите как се смята )
От тук намирате АВ₁ и от тук АС... по същия начин за ВС...
После една косинусова теорема за ъгъл АВ в ▲АВС и сте намерили страните на триъгълника

[M_Velinova]

По принцип са доста трудоемки за описване.
И на мен ми се видя лесно б), затова не го написах.
Но пак трябват сметки.