Две задачки свързани с планиметрия

[complex]

1) В правоъгълен триъгълник АВС с хипотенуза АС=1 вписаната окръжност се допира до АС и АВ в токите M и N. Докажете, че [tex]MN\le \frac{2\sqrt{3} }{9 } [/tex]
2) Върху графиката на функцията у=-х² + 8х -7 са взети точки D и C в първи квадрант, а върху абцисната ос - точки А и В, така че фигурата ABCD е трапец, за който AB=3CD. Намерете най-голямата стойност на лицето на трапеца.

[Реклама]

[ObsCure]

По 1ва:

Complex!Пропуснал си да напишеш подточка a),а тя ти решава цялата задача!

В подточката а) трябва да се докаже,че

MN=[tex]\sqrt{sin^{2}\alpha-sin^{3}\alpha}[/tex]

където

<BAC=α

И така,четириъгълникът AMON е вписан,защото

<ANO+<AMO=180°

Следователно

<MON=180°-α

Прилагаме косинусовата теорема към горният и получаваме

MN=x=r[tex]\sqrt{2+2cos\alpha}[/tex]

Тей като хипотенузата е 1ца

a=sinα и b=cosα

Вкарваме радиусът под радикала и след това преобразуваме(посредством a и b) докато не стигнем до

MN=[tex]\sqrt{a^{2}-a^{3}}[/tex]

с което горното равенство е доказано.

б)Равенство се постига при

a=[tex]\frac{2}{3}[/tex]

Колкото до неравенството...замести с резултатът (не със sinα,а с катета BC)!

[ганка симеонова]

комплекс, 1)зад, беше една от задачите, когато кандидатствах в су))