Важни задачи

[mesechka]

Моля Ви ако можете до края на деня да ги решите. Много ще Ви бъда благодарна...

Задача 1.
1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 + ..... + 2005/2006 = ?

Задача 2.
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + …. + n^3 = ?
(1 на трета степен + 2 на трета + 3 на трета ..... + n на трета = ?)

Последната знам че е нещо като тъждество обаче нямам и идея как се доказва.

[Реклама]

[uktc]

На втората задача можеш ли да съставиш формула за S_n(сбора на първите n члена)? Опитай, а аз ще опитам да я докажа с математическа индукция. Не знам дали ще мога де, но от опит глава не боли

[uktc]

Оппа, май я реших. Само че довечера ще постна решението, защото сега отивам на училище.

[uktc]

Върнах се по-рано от даскалото
Задача 2:

[uktc]

Правя рекорд по най-много постове, пуснати един след друг, ама какво да се прави. Открих грешка в горното решение, която може да обърка четящите. Тук съм я фиксирал:

[mesechka]

попринцип трябва да се получи, че онова е равно на
(1+2+3+4+...+n)^2 (на втора степен) и найстина се използва някоя прогресия. а 1 задача?

[uktc]

Еми и (1+2+3+4+...+n)^2 е вярно, и [1/2(n)(n+1)]^2 e вярно . Кажи ми какво трябва да се получи на първата задача и мога да ти го докажа, само че чрез мат. индукция.

[mesechka]

ами.... не знам..
но се предполага че и двете трябва да ги решим с прогресии.. и даже даскала се смееше че първата задача е била за 6ти клас. но тази втората... нещо нищо не разбирам.. а утре ще ни ги даде тези двете контролна...

[uktc]

В такъв случай разгледай как съм решил втората задача и му я напиши по тоя начин, разбира се ако не се намери никой да я реши с прогресия де. Впрочем изобщо не съм сигурен, че членовете на двете редици са членове на прогресия. Не знам, може и да бъркам. Пък в краен случай му я реши по моя начин

[mesechka]

ами друго не ми остава...
имам само един въпрос.. как я получи тая формула?

[uktc]

Чрез много интуиция, съобразителност и най-вече налучкване Не, сериозно... Като погледнеш колонката S_n в табличката виждаш числата 1, 9, 36, 100, 225 и т.н. и се забелязва, че те са точни квадрати на естествени числа. Следователно вече знаем, че във формулата ще участва нещо на степен две. Сега търсим кое е това нещо .
Поглеждаш например при n=3 и виждаш, че сумата е 36, т.е. 6^2. Тоест трябва да изградиш такава връзка чрез n, че да се получи числото 6. Първото, за което се сеща човек е, че (2.3)^2=36, т.е. формулата засега е (2n)^2. Обаче проверяваш дали е изпълнена при н=2 и виждаш, че не е. Следователно формулата не е така . Трябва да търсиш такава формула за н, че да се удовлетворява и за другите стойности на н. Я да видим, не може ли двойката да я представим като 4/2. Може естествено
При н=3 става следното: (3.4/2)^2=36. Вярно е. Ама случайно поглеждайки в таблицата забелязваме, че числото е числото след 3, т.е. n+1. Оппааа Набарахме го. Формулата доби вида: [n.(n+1)/2]^2.
Проверяваме пак при н=2 и виждаме, че е изпълнено. При н=4 също, при н=5 също, следователно май набарахме формулата
Та така я измислих тая формула. С налучкване и много нерви

[Lubo]

Zdravey Mesechke,

0/1 = 1 - 1/1 (tozi chlen ne e chast ot tvoyata reditza, no pribavyaneto na "0" ne promenya nishto
1/2 = 1 - 1/2
2/3 = 1 - 1/3
3/4 = 1 - 1/4
...
2005/2006 = 1 - 1/2006

Togava sumata na tvoyata reditza e ravna na

0/1 + 1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 + ..... + 2005/2006 =

(1 - 1/1) + (1 - 1/2) + (1 - 1/3) + ... + (1 - 2005/2006) =

2006 - (1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/2006)

ot tuk natatak e lesno


Lubo

[uktc]

Lubo, имаш ли някакви идеи за по-лесничко решение на задача 2 ?

[Lubo]

Zdravey uktc,

Mislya, che predi vreme osazhdahme podobna (dazhe may beshe tochno sashtata) zadacha (kato zadacha 2) vav Foruma. Infernum ya beshe zadal.

Opitay 'link'-a:

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?p=1331&highlight=#1331

i vizh moya otgovor - toy e dosta visualen - sastoi se ot poreditza ot vmesteni (s razlichen tzvyat) kvadrati.

Lubo

[mesechka]

А аз намерих по-лесно решение на задача 2-ра. Обаче как се довършва първа?

[uktc]

[mesechka]

в смисъл как се събира 1/1+1/2+1/3+1/4+....+1/2006

[uktc]

В смисъл как е по-лесното решение на задача 2?

[mesechka]

ами малко е дългичко ама...
първо намираме на какво е равно 1^2+2^2+3^2+....+n^2.
[img]http://elanor.hit.bg/untitled.bmp[/img][/img]

[Lubo]

Tova e sravnitelno trudna zadacha, Mesechke, vapreki che v predniya si posting (umishleno ) ostaviv vpechatlenieto, che e lesna. Iskah da se 'po razrovish' iz knigite po mathematica ili Internet. Tova e harmonichen red.

Sumata do 'n'-tiya chlen na tozi red, S(n), e priblizitelno ravna na

S(n) = ln(n)+0,5772156649...

Kolkoto po-golyamo e 'n' tolkova to-tochno e ravenstvoto.

Chisloto 0,5772156649... e izvestno kato constanta na Oyler i se predstavya kato gamma, a 'ln' e naturalen logarithm (logarithm s osnova 'e' - Neperovoto chislo).

Mozhe li da napisheh tvoeto lesno reshenie na drugata zadacha?

Lubo

[Lubo]

Zdravey Mesechke (otnovo),

razgledah reshenieto ti na drugata zadacha. Ti ne iskashe li da pokazhesh, che:

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2 ?

Reshenieto, koeto ti predlagash, mnogo mi haresa, no to izvezhda formulata za sumata na kvadratite na parvite 'n' estestveni chisla, a ne formulata za sumata na kubovete na parvite 'n' estestveni chisla.

Lubo

[mesechka]

да де..
по същия начин се решава и с тритата степе само че още в началото слагаме на какво е равно четвъртата степен. след това събираме почленно. четвъртите степени се съкращават а за вторите използваме получената формула. и.. готово. пробвай и ще стане