едно ирационално уравнение..

[ганка симеонова]

Да се реши уравнението:

[tex] x^{3}+45\sqrt{x^{2}-8x+15}+12\sqrt{7x-x^{2}-10}=125 [/tex]

[Реклама]

[KoTeTo]

Въобще не съм сигурна, но ще пробвам
[tex]x^{3}-125+45\sqrt{x^{2}-8x+15}+12\sqrt{7x-x^{2}-10}=0[/tex]
[tex](x-5)(x^{2}+5x+25)+45\sqrt{x^{2}-8x+15}+12\sqrt{7x-x^{2}-10}=0[/tex]
[tex]\sqrt{x-5}.(\sqrt{x-5}+45\sqrt{x-3}+12\sqrt{x-2})=0[/tex]
Подразбира се, че x-5,x-3 и x-2[tex]\ge[/tex]0 => x[tex]\ge[/tex]5
От което следва, че единственото решение е x=5, тъй като при всяко x>5 [tex](\sqrt{x-5}+45\sqrt{x-3}+12\sqrt{x-2})>0[/tex]

ЕДИТ:
Объркала съм знака и ми излиза, че x<2 и... не знам какво да правя.

[ганка симеонова]

оправи си ДС

[martosss]

Искаше ми се да избегна разглеждането на функции, ама явно няма да стане без да си изцапам ръцете

[tex]x^{3}-125+45\sqrt{x^{2}-8x+15}+12\sqrt{7x-x^{2}-10}=0[/tex]

[tex](x-5)(x^{2}+5x+25)+45\sqrt{(x-5)(x-3)}+12\sqrt{(x-5)(2-x)}=0[/tex]

[tex]45\sqrt{(5-x)(3-x)}+12\sqrt{(5-x)(x-2)}=(5-x)(x^{2}+5x+25)[/tex]

сега х=5 е решение... ако х[tex]\ne 5[/tex] делим на [tex]\sqrt{5-x}[/tex] и получаваме:

[tex]45\sqrt{3-x}+12\sqrt{x-2}=\sqrt{5-x}(x^2+5x+25)[/tex]

Сега ще се наложи да разгледаме двете страни на уравнението...

нека лявата страна е [tex]f(x)[/tex], а дясната - [tex]g(x)[/tex]. сега [tex]g'(x)=\frac{45}{2\sqrt{3-x}}+\frac{12}{2\sqrt{x-2}}>0[/tex] за всяко х,
тоест... g(x) е монотонно движеща се, тоест достига мин. и мах стойност в края на деф. множество, но [tex] g(2)=45 u g(3)=12 \Right g_{MAX}=g(2)=45[/tex]

от друга страна [tex]f'(x)=\frac{2x+5}{2\sqrt{5-x}}>0[/tex] за всяко х от Д.С. => [tex]f(x)[/tex] също е монотонна... и [tex]f(2)=\sqrt3*39>45[/tex] и

[tex]f(3)=\sqrt2*49>45\Right f(x)>g(x)[/tex]за всяко х от Д.С. => Н.Р. => единственото решение е [tex]\red \fbox{x=5}[/tex]

[KoTeTo]

[martosss]

[KoTeTo]

[martosss]

е ми аз го доказах малко по-горе може да разгледаш моето решение... иначе ако почнеш да дигаш на квадрат става страшно.. от 10-та степен... изобщо не съм пробвал, то прост си личи от тия числа че това не е метода за решаване ;]