да се докаже, че..

[ганка симеонова]

Да се докаже, че за всяка ненулева стойност на реалния параметър а уравнението

[tex]ax^{3}+(a+2)x^{2}+(a+4)x+a+6=0 [/tex]

има само едно решение.

[Реклама]

[martosss]

[tex]ax^3+(a+2)x^2+(a+4)x+a+6=0[/tex]

[tex]a(x^3+x^2+x+1)+2(x^2+2x+3)=0[/tex]

[tex]-a(x+1)(x^2+1)=2(x^2+2x+3)[/tex]

При [tex]x=-1 \Right 4\ne 2 \Right x\ne -1[/tex]

[tex]\frac{-a}{2}=\frac{(x^2+2x+3)}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{(x+1)^2+2}{(x+1)(x^2+1)}[/tex]

Сега тъй като дясната страна е строго растяща... то за всяка различна стойност на а ще има точно 1 решение... така става ли? това с растенето не сме го учили... ама до колкото успях да му намеря [tex]f'(x)=\frac{-\left[(x+1)^4+2(3x^2+2x+4)\right]}{(x+1)^2*(x^2+1)^2}<0[/tex] за всяко х => функцията е растяща, поправете ме ако греша, защото сигурно е така и понеже е растяща.... то за всяко а има само 1 решение

[ганка симеонова]

браво марто
нацелил си нещата, но с една лека поправка
щом производната е отрицателна, функцията е намаляваща, не е растяща.
важното е обаче, че е монотонна навсякъде в ДО и се изменя от - до + безктайност. лявата страна е констана, т.е. пак монотонна ф-я.
тогава двете имат единствена обща точка.