Регистрирайте сеРегистрирайте се

задачи


 
   Форум за математика Форуми -> Висша алгебра(ВА)
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
error
Начинаещ


Регистриран на: 13 Apr 2008
Мнения: 78

Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9
гласове: 6

МнениеПуснато на: Tue Apr 29, 2008 1:14 am    Заглавие: задачи

Дадено е:

(a,b)=1 a,b[tex]\in [/tex]N
да се докаже че сумата от частните на числата
а ,2а, 3а....,(в-1)а при деленето с b е равна на 1/2(a-1)(b-1)



a=bq1+r1
2a=bq2+r2
....

q1+q2+....+qb-1=1/2(a-1)(b-1) (*)
да се докаже (*)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Apr 29, 2008 9:14 am    Заглавие:

1) Намираме сумата [tex]\frac{a}{b}+\frac{2a}{b}+\frac{3a}{b}+\frac{4a}{b}+...+\frac{(b-2)*a}{b}+\frac{(b-1)*a}{b}=[/tex]
[tex]\frac{a}{b}*\left(1+2+3+...+(b-2)+(b-1)\right)=\frac{a}{b}*\frac{(b-1)*b}{2}=\frac{a(b-1)}{2}[/tex]
това е общата сума [tex]q_1b+q_2b+...+q_{b-1}b+r_1+r_2+r_3+...+r_{b-1}[/tex]... ... сега остана да докажем, че сумата от всички остатъци е [tex]\frac{b-1}{2}[/tex] Very Happy ама това не мога да го направя Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
xyz
Напреднал


Регистриран на: 20 May 2007
Мнения: 319

Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2
гласове: 12

МнениеПуснато на: Tue Apr 29, 2008 1:37 pm    Заглавие:

Методът, който се използва твърде известен в едно (може би най-известното) доказателство на закона за реципрочност на квадратичните остатъци. Разгледай правоъгълник със страни a по оста x и b по оста y. Броят на целочислените точки в правоъгълника и по ляво-долната му граница е равен на (a-1)(b-1). Търсената сума от частни е броя на точките под диагонала, а това е точно половината. По диагонала няма точки, защото a и b са взаимно прости.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Apr 29, 2008 2:06 pm    Заглавие:

O.o а може ли да обясниш какво общо имат тези точки в правоъгълника с числата и остатъците? Shocked
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
error
Начинаещ


Регистриран на: 13 Apr 2008
Мнения: 78

Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9
гласове: 6

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 10:53 am    Заглавие:

ам нещо не ви разбрах ....
next zad
Да се докаже че ако р, q са прости по големи от 3 числа то 24/р2-q2

Да се докаже че ако р просто к естествено 1[tex]\le [/tex]k[tex]\le [/tex]p-1 то
p/(p)
(k)


// пе над ка
(p)=p(p-1).....(p-k+1)
(k) k!


Последната промяна е направена от error на Wed Apr 30, 2008 12:03 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 11:07 am    Заглавие:

error написа:
ам нещо не ви разбрах ....
next zad
Да се докаже че ако р, q са прости по големи от 3 числа то 24/р2-q2

Да се докаже че ако р просто к естествено 1[tex]\le [/tex]k[tex]\le [/tex]p-1
то p/(p)
(k)


// пе над ка
(p)=p(p-1).....(p-k+1)
(k) k!

Тия задачи изобщо не ги разбирам... трябва да напишат няква теория как аджеба се решават Very Happy особено със факториели и с това "пе над ка" Confused друго е въпроса че не ти разбрах условието в случая... това 24/p²-q² kak cTaBa? Taka - [tex]\frac{24}{p^2-q^2[/tex] u/\u Taka - [tex]\frac{24}{p^2}-q^2[/tex] и в крайна сметка какво се търси?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
error
Начинаещ


Регистриран на: 13 Apr 2008
Мнения: 78

Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9
гласове: 6

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 11:15 am    Заглавие:

ми да се докаже че 24 дели p2-q2
ако р и q са прости и по големи от 3
това е теория на числата

p2-q2=(p-q)(p+q)
p=3k1+1
q=3k2+2
p-q=3(k1-k2)
p+q=3(k1+k2+1)
после Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 11:20 am    Заглавие:

това не са прости.... примерно к1 ако е 5 става р=16=2*8
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
error
Начинаещ


Регистриран на: 13 Apr 2008
Мнения: 78

Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9
гласове: 6

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 12:01 pm    Заглавие:

p2-q2=(p-q)(p+q)
p=3k1+1
q=3k2+2
p-q=3(k1-k2)
p+q=3(k1+k2+1)
p=4k1+1 или p=4k1+3
q=4k2+1 или q=4k2+3

това е дадено като решение не ми е ясно защо
p=3k1+1
a после
p=4k1+1
p=4k1+3

24 се дели на 3 и 4
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 12:19 pm    Заглавие:

като за начало р и q са >3 и прости от тук те са нечетни(всички четни числа се делят на 2 и не са прости) от тук разлика на две прости числа е четно число Wink
сбор съшо е четно.... така че p-q u p+q се четни , остана да докажеш че едното се дели на 3, а другото - още веднъж на 2 Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
error
Начинаещ


Регистриран на: 13 Apr 2008
Мнения: 78

Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9
гласове: 6

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 12:31 pm    Заглавие:

амм 9 е нечетно но не е просто
добре нали имаме решение
нека се основаваме на него
защо така става
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 12:51 pm    Заглавие:

Нека направим някои разсъждения разсъждения:

при деление на 3 p и q могат да дадат остатък 1 или 2(понеже и двете числа са прости , то не могат да дадат остатък 0, тоест те не се делят на 3)

Първи случай - p и q дават различни остатъци при деление на 3 - нека при деление на 3 р дава остатък 1, а q - остатък 2.

Тогава можем да ги представим във вида p=3b+1 и q=3c+2 (понеже при деление на 3 р дава остатък 1, а q - 2)
тогава сумата им (p+q )=3b+1+3c+2=3(b+c+1) тоест се дели на 3 !!!

Втори случай - p и q дават еднакъв остатък при деление на 3
Тогава можем да ги предствим във вида
p=3b+1 и q=3c+1(ако дават остатък 1)
или
p=3b+2 и q=3c+2(ако дават остатък 2)

Сега разликата им p-q=3b+2-3c-2=3(b-c), тоест (p-q) се дели на 3 !!!!

Тоест каквито и да са простите числата p и q, то винаги или сумата им или разликата им се дели на 3 Wink

получихме че p²-q² дели 3

Сега ще разгледаме остатъците при деление на 4

След малко ще ги напиша, осетих защо авторското решение е така... първо гледат при деление на 3 какви остатъци дава, после при деление на 4 Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 1:55 pm    Заглавие:

Относно тази за P над K. Използваш, че P над К е равно на [tex]P!/k!.(P-k)!=P.(P-1)...(P-k+1)/k![/tex] , но P e просто(взаимно просто с всяко число по-малко от себе си) и k<P следователно и P над К се дели на P Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
error
Начинаещ


Регистриран на: 13 Apr 2008
Мнения: 78

Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9
гласове: 6

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 2:14 pm    Заглавие:

Станислав мерси Smile
Мартос това което си обяснил и аз шмах идея как става по интересно ми беше за 4ката
защото когато е 4к има остатъци 1 и 3 защо например не може да са 2 и 5 да кажем
може би на места въпросите ми да са тъпи за което се извинявам Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 2:41 pm    Заглавие:

Извинявам се че не обясних, ама затворих форума и отидох да се наобядвам Very Happy

Впрочем въпросите ти са съвсем основателни, но трябва да се опиташ може би сам да поразсъждаваш малко Wink аз не съм учил никаква теория и ги решавам тия задачи, и ти трябва да можеш Very Happy

Така... по задачата... имаме прости числа, нека видим
при деление на 4 какво се получава.

забележете , имаме прости числа... НЕЧЕТНИ... тоест не се делят на 2 Smile
по принцип възможните остатъци са 0, 1, 2 и 3... в случая обаче са само 1 и 3... ето защо...
Простите числа не се делят на 4 => нямаме остатък 0, ако дават остатък 2 при деление на 4, то те могат да се представят във вида p=4b+2=2(2b+1) => се делят на 2
Така.. имаме p=4b+1 или p=4b+3 и q=4c+1 или q=4c+3
1) имаме различни остатъци, тоест 1 и 3 получаваме (p+q)(p-q)=(4b+3+4c+1)(4b+3-4c-1)=4(b+c+1)*2(2b-2c+1)=8*(b+c+1)(2b-2c+1) от тук това цялото дели 8
2) имаме еднакви остатъци => 2(2b+2c+1)*4(b-c) =8*(...)(...) => se deli na 8
получихме че делят 8 и делят 3 от тук делят и 24 Wink

П.П. КАК ПРИ ДЕЛЕНИЕ НА 4 ЩЕ ИМА ОСТАТЪК 5 Very HappyVery HappyVery Happy Я си помисли хубаво....
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
xyz
Напреднал


Регистриран на: 20 May 2007
Мнения: 319

Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2
гласове: 12

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 3:49 pm    Заглавие:

Това че p и q са прости не ти трябва изобщо. Достатъчно ти е, че са нечетни и не се делят на три. Ето какво имаш за квадрата на едното от числата:
[tex](2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1=8{k(k+1) \over 2}+1[/tex]
Така за разликата получаваш:
[tex](2k+1)^2-(2l+1)^2=8({k(k+1) \over 2}-{l(l+1) \over 2})[/tex]
т.е. дели се на 8.
За делимост на 3 е подобно, а и вече си го направил.

Накрая някой ще ми отговори ли на въпроса. Какво общо има тази задача с висша математика??? Пълните тази част от форума с "глупости" и после ще се чудим, защо няма по-разбиращи посетители. Висша алгебра разбирам да изследвате свойствата на групи, полета и др., а не елементарна теория на числата.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Wed Apr 30, 2008 3:53 pm    Заглавие:

error, опитай се да докажеш следната теорема като използваш, че [tex]p|(\frac{p}{k})[/tex] Wink
[tex] (x_{1} + x_{2}+...+ x_{n })^p\equiv x_{1 }^p+x_{2 }^p+...+x_{n}^p (mod p)[/tex] , където P e просто число Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
error
Начинаещ


Регистриран на: 13 Apr 2008
Мнения: 78

Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9Репутация: 8.9
гласове: 6

МнениеПуснато на: Fri May 02, 2008 11:13 pm    Заглавие:

това не става ли по индукция като знам (x+y)pр+yp(p)
Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Висша алгебра(ВА) Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.