ABC - триъгълник

[AsterixFan]

ABC-триъгълник
АВ=3
ъгъл BAC = алфа
ъгъл АСВ = 120
В триъгълника са разположени две окръжности с равни радиуси ,които се допират до АВ(всяка една от тях),всяка една от тях се допира в точбо една от останалите 2 страни и се допират една в друга.

а)да се докаже,че r=3 / 2 + cotg alfa/2 + cotg(n/6 - alfa / 2)

б)при какви стойности на алфа r на 2те окръжности е най-голям и да се намери този радиус

Благодаря предварително..Ще се побъркам с тази задача

[Реклама]

[ганка симеонова]

от това, че АВ се явява обща външна допирателна към двете окръжности и [tex] OP=O_{1}Q [/tex] следва, че [tex] OO_{1}//AB; CH\bot OO_{1} =>CH\bot AB [/tex] тогава
[tex] PQO_{1}O [/tex]- правоъгълник. ще разгледаме триъгълниците [tex]\Delta AOP;\Delta BO_{1}Q [/tex]

[tex] \Delta AOP: cotg\frac{\alpha }{2 }=\frac{OP}{AP }=> AP=r.cotg\frac{\alpha }{ 2} [/tex]

[tex]\Delta BO_{1}Q : cotg(30^\circ -\frac{\alpha }{2 })=\frac{BQ}{O_{1}Q }=>BQ=r.cotg (30^\circ -\frac{\alpha }{2 }) [/tex]

[tex] => AB= AP+PQ+QB [/tex]
[tex] 3=r.cotg\frac{\alpha }{ 2}+2r+r.cotg (30^\circ -\frac{\alpha }{2 }) [/tex]
изразявайки радиуса получаваме:

[tex] r=\frac{3}{2+cotg\frac{\alpha }{ 2}+ cotg (30^\circ -\frac{\alpha }{2 }) } [/tex]

този радиус ще има най- голяма стойност, когато знаменателят е най- малък
за целта разглеждаме ф- та

[tex] f(\alpha )=cotg\frac{\alpha }{ 2}+ cotg (30^\circ -\frac{\alpha }{2 }) [/tex]
намери и най- малката стойност

[AsterixFan]

Страхотна си ! Благодаря!