2 задачи от Краснодар

[erejnion]

аз съм един от участниците на Всерусийска олимпиада '08. Докато бяхме там, се запознахме с краснодарския отбор. те ни дадоха явно двете най-трудни задачи, които знаят... едната е готина и решима, другата май пада към висша математика, но нищо.

1. Нека означим поредните прости числа с [tex]p_{1 } =2 , p_{2 } =3, p_{3 }, ... , p_{n }, ...[/tex]. Докажете, че [tex]\frac{p_{2n } }{p_{n } } >2}[/tex]

2. Съществува ли фигура F в равнината, т.ч. за две произволни точки A и B от същата равнина отсечката AB пресича F във вътрешна точка и F има крайно (ненулево) лице?

enjoy

ПС: sorry ако на това мястото не му е тук

ППС: мисля че ми трябва само да опиша 1. иначе идеята трябва да действа. всъщност и двете идеи, които измъдрихме би трябвало да вървят. втората -- абе тя си е висша математика, ама тука не сме само ученици ^^

[Реклама]

[martosss]

ми за тази първата задача ако вземем [tex]\frac{p_2}{p_1}=\frac{3}{2}[/tex] ?... 3/2 е по-малко от две :]
Иначе за произволно число предполагам че трябва да разгледаш как се образуват простите ... примерно ако разгледаш най-общо всички нечетни числа като прости.... то тогава [tex]x_{n+1}=x_n+2...x_{n+2}=x_n+2*2...x_{2n}=x_n+n*2 \Right \frac{x_{2n}}{x_n}=\frac{x_n+n*2}{x_n}=1+\frac{n*2}{x_n}[/tex] ама как да докажеш че това е по-голямо от 1.... никаква идея си нямам пък и то по принцип за по-голямо n няма да е изпълнено, защото допускането ни че всички нечетни числа са прости е грешно и от там колкото по-големи стават числата, толкова по-грешна ще е тактиката ни офф не знам нека някой по-умен се обади

[Пафнутий]

За първата мисля, че трябва да има условие [tex]n>2[/tex]
Ми моята идея е следната. Нека да вземем произволно просто число [tex]p_{n}[/tex] ( с индекси ще взимаме предвид подредбата на простите числа). От [tex]n>2 -> p=2k+1[/tex].[tex]p_{2n}/p_{n}[/tex] ще приема по-малки стойности при по-малка разлика [tex]p_{2n}- p_{n}[/tex] Очевидно [tex]p_{2n}- p_{n}[/tex] ще приема най-малка стойност, когато всички нечетни числа между [tex]p_{n}[/tex] и [tex]p_{2n}[/tex] са прости, но всяко 3 нечетно ще се дели на 3(при [tex]p_{n}=3k+2[/tex]) и нататък запецнах

[erejnion]

идеята ми бе да вземем числата от [tex]p_{n }[/tex] до [tex]2p_{n }[/tex] и да докажем, че измежду тях има повече съставни отколкото от 1 до [tex]p_{n }[/tex]. това автоматично ни показва, че [tex]p_{2n }[/tex] не може да бъде по-малко от [tex]2p_{n }[/tex] QED

Ноо тази ваканция я прекарах лежейки и мислейки само дали трябва все пак да стана... На балканиадата може и да се опитам да го напиша

ПС: миии сигурно... не бях обърнал внимание на 3/2 и 5/3

[Baronov]

За втората задача какво точно се разбира под фигура. Трябва ли да е свързана? Защото ако не трябва то може да се вземат кръгчета с центрове всяка точка с рационални координати и достатъчно малки радиуси така, че сумата от лицата им да е крайно число(това е така понеже рационалните числа са изброимо много). Понеже рационалните числа са и гъсто множество то всяка отсечка пресича "фигурата" във вътрешна точка.

[kgavrailov]

Първата задача така като я гледам май май п1 = 1, п2 = 2 и т.н. и на прима виста мога да дам предложение. Ще я докажем по индукция:
1. Доказваме за първите два члена
2. Допускаме за n-тите че е вярно
3. Изразяваме н+1 и 2н+2-рите членове чрез предходните оттам сигурно ще се получи някое хубаво неравенство използвайки допускането и ще се докаже лесно би трябвало да сработи ама сега не ми се смята,,,