Нещо средно между кандидатстудентска и олимпиадна тема!

[estoyanovvd]

Зад.1 Намерете всички редици [tex]a_{1}, a_{2},...[/tex] удовлетворяващи рекурентната зависимост [tex]a_{n+1}=1-2a_{n}^2[/tex], за които отношението
[tex]\frac{1-2a_{n}}{a_{n+1} }[/tex] е постоянно.


Зад.2 Решете неравенството [tex]log_{x}(11+10x-x^{2})\le log_{\sqrt[3]{2} }3.[/tex]


Зад.3 Решете уравнението [tex]2^{2-2x-x^{2}}=3+2^{x^{3}+x^{2}-8x}[/tex].


Зад.4 Намерете всички многочлени от вида [tex]x^{3}+ax^{2}+(1+2c)x+c[/tex], имащи точно две различни реални нули, ако е известно, че сумата им е равна на 1.


Зад.5 Върху дъгата [tex]AB[/tex] от окръжност е взета точка [tex]C[/tex]. Ако [tex]AC=7, BC=3,[/tex] намерете [tex]AE[/tex], където [tex]E[/tex] е петата на перпендикулярът, спуснат от средата на дъгата [tex]AB[/tex] към правата [tex]AC[/tex].


Зад.6 Намерете стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението
[tex](x^{2}-7x-8 ).(x^{2}-11x+10)=a[/tex] има четири различни цели корена.


Това са част от задачите давани на Регионалната олимпиада по математика на Санкт-Петербургския държавен университет през 2004 година!!! Ще се радвам да видя решения!

[Реклама]

[b1ck0]

Зад.5
Намерете стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението
[tex] \left(x^{2} - 7x - 8\right)\left(x^{2} - 11x + 10 \right)= a [/tex]
има четири различни цели корена.

[bobson]

За последната задача -

Разлагаме го на множители и се получава
(х -8 )(х - 1)(х + 1)(х - 10) = а
(х² - 9х - 10)(х² - 9х +8 ) = а

сега полагаме у = х² - 9х - 10
за да има това уравнение две цели и различни решия трябва - D₁ = 121 + 4y да е точен квадрат => y е също цяло число

а уравнението става у² + 18у - а = 0
D₂ = 81 + 4a > 0
за да имаме 4 различни решения като решим системата излиза че -20,25< а <12,25
=> 1< D₂ < 129
и сега пробвам точните квадрати в този интервал и излиза, че само а=0 е решение

има ли по-лесен начин?

[ганка симеонова]

1 зад.
очевидно следното условие искаме да е изпълнено:

[tex] \frac{1-2a_{n}}{a_{n+1} }= \frac{1-2a_{n+1}}{a_{n+2} } [/tex]

използвайки рекурсията и полагайки [tex] a_{n}=x[/tex] получаваме равенството

[tex] \frac{1-2x}{1-2x^{2}}=-\frac{(1-2x)(1+2x)}{1-2(1-2x^{2})^{2} } [/tex]

решаваме полученото уравнение и получаваме:
1сл)[tex] x=\frac{1}{2 } =>a_{n}=\frac{1}{ 2} =>a_{n+1}=\frac{1}{2 }[/tex]

тогава първата редица е константната редица [tex] \frac{1}{ 2};\frac{1}{2 };...[/tex]

2сл) [tex] x=-1 => a_{n}=-1 =>a_{n+1}=-1[/tex]


тогава втората редица е константната редица [tex] -1;-1;...[/tex]

[estoyanovvd]

За първата задача! Има още две редици : [tex]a_{1}=-cos(\frac{2\pi }{ 5} [/tex] и

[tex]a_{1}=-cos(\frac{4\pi }{5 } [/tex], което всъщност е [tex]a_{1}=\frac{1\pm \sqrt{5} }{2 } [/tex]

Най-вероятно си забравила да умножиш удвоеното произведение по 2 ?!

[ганка симеонова]

благодаря за поправката
снощи я писах в несвяст и сега видях, че съм изпуснала един множител
[tex] 4x^{2}-2x-1[/tex]
с една поправка от моя страна към estoyanovvd, в знаменател е 4, а не 2

[ганка симеонова]

4 зад)
за да има един полином от трета степен две различни нули, то едната трябва да е двоен корен
нека двойния корен означим с х, а еднократния- с у. тогава искаме х+у=1
от формулите на виет за полином от 3-та степен следва:

[tex] x+x+y=-a ; xx+xy+xy=1+2c ; xxy=c [/tex] =>

[tex] x+1=-a ; x^{2}+2x(1-x)=1+2c ; x^{2}(1-x)=c [/tex]

разглеждаме система от вторите две уравнения и я решаваме чрез заместване:
получаваме:
[tex] 2x^{3}-3x^{2}+2x-1=0 =>(x-1)(2x^{2}-x+1)=0 =>x=1[/tex]

=>[tex] 1+1=-a =>a=-2 ; c=0 [/tex]

тогава полиномът има вида:

[tex] x(x-1)^{2}=0 [/tex]

[bobson]

За геометрията получих, че АЕ = 2, като използвам, че МС е ъглополовяща

[martosss]

[ганка симеонова]

направи си чертеж и ще видиш една чудничка ъглополовяща

[martosss]

Интересно какво би станало ако перпендикулярът се спусне от средата на дъгата АСВ

[ганка симеонова]

решението ти на 5 ме изкефи

[martosss]

[ганка симеонова]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=4963

[martosss]

аа моето ли ми поласкан съм то важното е полагането.. като го направиш точен квадрат и става хубаво

[bobson]

много хитро решение наистина

[bobson]

На 2рата го докарах до х [tex]\in[/tex] (0;1) [tex]\cup [/tex] (1;2] [tex]\cup [/tex] [8;11), като разглеждам случаи за х, така ли се получава

[nikolavp]

[bobson]

Ами най-напред ДС е х [tex]\in [/tex](0;1) [tex]\cup [/tex] (1;11)
Нека g(x) = 11 + 10x - x²
виждаме, че g(2) = 27 а дясната страна е log2(27)
сега разглеждам случаите за х:
х [tex]\in [/tex](0;1)
х [tex]\in [/tex](1;2)
х [tex]\in [/tex](2;11)
като във всеки от случаите изследвам g(x)
1сл - х [tex]\in [/tex](0;1)
g(x) е растяща => g(x) > g(0) >1 => log... < 0 < дясната страна на неравенството => самото неравенство е изпълнено
и т.н.

[nikolavp]

[bobson]

те другите два случая мен поне доста ме изтормозиха, първият е лесен

[ViRuS]

Като видях алгебричната 5-та задача веднага се хванах да я пробвам чрез графика на функция,но числата найстина са отвратителни и се отказах.

[estoyanovvd]

Чак сега забелязах, че има две пети задачи!!! Вече са оправени!!! Съжалявам за объркването, което настана!!!