Зада4а за празниците

[r2d2]

Докажете, че: (всички означения са стандартни)
[tex]b+c=2a \Leftrightarrow IG||BC \; \Leftrightarrow IA \perp IO \; \Leftrightarrow \cos \frac{B-C}{2}=\sqrt{\frac{2r}{R}[/tex]

Първото вече е доказвано в сайта, но е тук за пълнота!

[Реклама]

[b1ck0]

Тази задача "някакси" ме навежда на тази задача

[ганка симеонова]

от това, че 2a=b+c и прилагайки синусова теорема за ABC получаваме:
[tex] 2sin\alpha =sin\beta +sin\gamma [/tex]
[tex]2sin(\beta +\gamma )=2sin{\frac{\beta +\gamma }{2 }}cos {\frac{\beta -\gamma }{2 }} [/tex]
[tex]2.2sin{\frac{\beta +\gamma }{2 }}cos {\frac{\beta +\gamma }{2 }}=2sin{\frac{\beta +\gamma }{2 }}cos {\frac{\beta -\gamma }{2 }} [/tex]=>
[tex] cos{\frac{\beta -\gamma }{2}}=2sin{\frac{\alpha }{2} } [/tex]
продължаваме ъглополовящата през, до пресичането и с описаната окр. в т.L и през L построяваме диаметър LM.
[tex] \angle AML=\beta +\frac{\alpha }{2 } =>\angle ALM=\frac{\gamma -\beta }{2 }[/tex]
[tex]\Delta CLI [/tex]- равнобедрен (CL=IL). прилагаме син. т-ма за ACL=>
[tex]CL=2Rsin{\frac{\alpha }{2 }} =>IL=2Rsin{\frac{\alpha }{2 }} [/tex]=>
[tex]cos{\frac{\gamma -\beta }{ 2}}= \frac{IL}{R } [/tex], но от AML=>
[tex]cos{\frac{\gamma -\beta }{ 2}}= \frac{AL}{2R } =>AL=2IL [/tex]
=>[tex]\frac{AL}{IL }=\frac{ML}{OL }=2 [/tex] тогава по теоремата на талес следва, че [tex]IO//AM =>IO\bot AI [/tex]
разглеждаме прав. [tex] \Delta API=>sin{\frac{\alpha }{ 2}}=\frac{r}{AI } [/tex]=>
[tex]cos{\frac{\gamma -\beta }{2} }=\frac{2r}{AI }=\frac{2r}{CL } [/tex] [tex](AI=IL=CL)[/tex]

но [tex] CL=2Rsin{\frac{\alpha }{2 }}=Rcos{\frac{\gamma -\beta }{2} } [/tex]
тогава окончателно получаваме, че
[tex] cos^{2}{\frac{\gamma -\beta }{ 2}=\frac{2r}{R } =>cos{\frac{\gamma -\beta }{2 }=\sqrt{\frac{2r}{R } } [/tex]
заб: задачата е решена в едната посока

[ганка симеонова]

в обратна посока. лесно може да се съобрази, че за произволен триъгълник:
[tex]cos{\frac{\gamma -\beta }{2 }}\ge \frac{2r}{R } [/tex]
от [tex]AML =>cos{\frac{\gamma -\beta }{2 }}=\frac{AL}{ML }=\frac{AI+IL}{2R }\ge \frac{\sqrt{AI.IL} }{R} [/tex], като равенство се достига само при AI=IL.
освен това: [tex]IL=CI=2Rsin{\frac{\alpha }{2 }}; AI=\frac{r}{sin{\frac{\alpha }{2 }} } [/tex]
следователно:[tex]cos{\frac{\gamma -\beta }{2 }}\ge \sqrt{\frac{2r}{R } } [/tex]
тогава, ако е изпълнено последното условие на задачата, а именно, че
[tex]cos{\frac{\gamma -\beta }{2 }}= \sqrt{\frac{2r}{R } }=>AI=IL[/tex], но[tex]MO=OL=>IO//AM=>IO\bot AI[/tex]
прилагаме син. т-ма за [tex] \Delta ACL=>\frac{CL}{sin{\frac{\alpha }{2 }} }=\frac{AL}{sin(180^\circ -\gamma -\frac{\alpha }{ 2})} [/tex]=>
[tex] sin(\gamma +\frac{\alpha }{2 })=2sin{\frac{\alpha }{2 } [/tex]
и с обратните тригонометрични преобразувания може да се докаже, че
[tex] 2sin\alpha =sin\beta +sin\gamma [/tex]

[r2d2]

Нека D е пресечната точка на ъглополовящата АI с описаната окръжност.
Лесно се доказва, че за всеки триъгълник CD=DI=DB (ако този факт е непознат, докажете го и го запомнете!).
Тогава от синусова теорема [tex]ID=CD=2R\sin \frac {\alpha}{2}[/tex] (това е вярно за произв. триъгълник). Също така, [tex]AI=\frac {AK}{\cos \frac {\alpha}{2}}=\;\frac {p-a}{\cos \frac {\alpha}{2}}[/tex].
Понеже ОА=ОD имаме:
[tex]AI \perp OI \Leftrightarrow AI=ID \Leftrightarrow \frac {p-a}{\cos \frac {\alpha}{2}}=2R\sin \frac {\alpha}{2}\Leftrightarrow p-a=R \sin \alpha = \frac {a}{2}\Leftrightarrow b+c = 2a[/tex]