уравнение с двоен параметър?

[boog]

x^5 - px² + q=0 (надявам се че съм написал правилно x на степен 5-та)
Исканото в задачата е да се намерят всички прости числа p и q ,при които уравнението има цял корен.

[Реклама]

[ганка симеонова]

от теоремата за рационални корени следва, че ако уравнението има цял корен, то той е делител на свободния коефициент, т.е. на q. всички делители на q, понеже е просто число са
[tex] {-1; 1; -q; q} [/tex]
отварям една скоба( единствените последователни цели прости числа са 2 и 3; съответно -3 и -2 )
1сл)нека уравнението има корен х=-1. тогава:
[tex] -1-p+q=0 => q-p=1 =>q=3; p=2 [/tex] или [tex] q=-2; p=-3 [/tex]
2 сл) нека х=1. тогава:
[tex] 1-p+q=0 =>q-p=-1 =>q=2; p=3[/tex] или [tex] q=-3; p=-2 [/tex]
3 сл) нека x=q. тогава:
[tex] q^{5}-pq^{2}+q=0 [/tex] делим на q и изразяваме p:
[tex] p=\frac{q^{4}+1}{ q}[/tex]
нека q е различно от 2 или -2=> е нечетно число. тогава числителят е четен, а знаменателят е нечетен и няма да имаме решение в точзи случай.
ако q=2 или -2, получаваме обратното. знаменателят е четен, числителят е четен и пак нямаме целочислено деление, т.е. пак получаваме противоречие.
случаят, когато x=-q е аналогичен

[boog]

Моля те обясни това отново : единствените последователни цели прости числа са 2 и 3; съответно -3 и -2 - от къде получаваш тази информация?А в кой клас се учи теорията за рационални числа?Защото бих искал да прочета за нея (доста големи пропуски имам ,а времето е вече малко)

[r2d2]

Когато говорим за прости числа, по принцип говорим за цели положителни числа!

[M_Velinova]

[tex]x^5-px^2+q=0[/tex]
Преобразуваме:

[tex]x^2(p-x^3)=q[/tex]

Ако x e цяло число, различно от 1, то q ще е съставно. Тогава остава p-1=q и единствена двойка е p=3 и q=2.