за кои....

[ганка симеонова]

За кои стойности на реалния параметър к, уравнението
[tex] \sqrt{2x+\sqrt{4x-1} }+\sqrt{2x-\sqrt{4x-1} }=k [/tex]
се удовлетворява за всяко х от интервала [tex] [\frac{1}{4 };\frac{1}{2 }][/tex].

[Реклама]

[waily]

Мисля че трябва да е това. На места е малко неясно за което се извинявам немога да го напиша с тези корени ...

[r2d2]

В "решението" има груба грешка!
Опитай се да я откриеш!

[ганка симеонова]

очевидно уравнението е дефинирано за [tex] x\ge \frac{1}{4 }[/tex] лесно се установява, че при тези значения двете подкоренни величини са неотрицателни.
правим полагането: [tex] t=\sqrt{4x-1}\ge 0 =>x=\frac{t^{2}+1}{ 4}[/tex]
=>[tex] \sqrt{\frac{(t+1)^{2}}{ 2} }+ \sqrt{\frac{(t-1)^{2}}{ 2} }=k [/tex]
лесно се съобразява, че ако [tex] x\in[1/4;1/2]=>t\in [0;1] [/tex]
тогава задачата се свежда до следната: за кои стойности на t уравнението има единствено решение в [tex] t\in [0;1] [/tex]
[tex] \frac{t+1}{\sqrt{2} }+\frac{|t-1|}{\sqrt{2} }=k[/tex]
в интервала за t [tex] t-1\le 0 =>|t-1|=1-t [/tex]
[tex] 1+t+1-t=k\sqrt{2}[/tex]
[tex] 0t=k\sqrt{2}-2 [/tex]
за да се изпълнява в целия интервал трябва дясната страна да е 0 =>
[tex] k=\sqrt{2} [/tex]