Задача 3

[Мирослав Стоенчев]

(Cool Angel) Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] с полупериметър [tex]p.[/tex] Нека [tex]D,E,F[/tex] са допирните точки на външно-вписаните окръжности съответно със страните [tex]BC,\ CA,\ AB[/tex] на [tex]\triangle ABC.[/tex] Пресечната точка на [tex]AD,\ BE,\ CF[/tex] лежи на вписаната окръжност в триъгълника. Да се докаже, че [tex]p=2.\min\left\{a,b,c\right\}.[/tex]

[Реклама]

[Мирослав Стоенчев]

Д-во: Поздравления за Cool Angel, задачата наистина е оригинална.

Нека [tex]O[/tex] е произволен полюс в пространството, a [tex]G,\ I,\ N[/tex] са съответно медицентър, център на вписаната окръжност и точката на Нагел за [tex]\triangle ABC.[/tex] Ще използваме стандартните означения за елементите на [tex]\triangle ABC.[/tex]

Директно пресмятаме:
[tex]\vec{OG}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}),\ \vec{OI}=\frac{1}{2p}(a.\vec{OA}+b.\vec{OB}+c.\vec{OC}),\ \vec{ON}=\frac{1}{p}\left\((p-a).\vec{OA}+(p-b)\vec{OB}+(p-c)\vec{OC}\right\). [/tex]
Оттук намираме [tex]\vec{IG}=\vec{OG}-\vec{OI}=\frac{1}{6p}\left\((b+c-2a)\vec{OA}+(c+a-2b)\vec{OB}+(a+b-2c)\vec{OC}\right\),\ (*)[/tex]
[tex]\vec{GN}=\vec{ON}-\vec{OG}=\frac{1}{3p}\left\((b+c-2a)\vec{OA}+(c+a-2b)\vec{OB}+(a+b-2c)\vec{OC}\right\),\ (**).[/tex]
Следователно [tex]\vec{GN}=2\vec{GI}\Rightarrow I,G,N[/tex] лежат на една права и [tex]|GI|=\frac{|IN|}{3}.[/tex] Така доказахме известната теорема на Нагел.

Понеже [tex]N\in k(I)\Rightarrow |IN|=r\Rightarrow |IG|=\frac{1}{3}r.[/tex]
По формулата на Лайбниц пресмятаме [tex]|IG|^2=r^2-\frac{1}{3}p^2+\frac{2}{9}(a^2+b^2+c^2),[/tex] което е доказано и тук: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2310

Така достигнахме до уравнението [tex]\frac{1}{9}r^2=|IG|^2=r^2-\frac{1}{3}p^2+\frac{2}{9}(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow 8r^2-3p^2+2(a^2+b^2+c^2)=0\Rightarrow \frac{8S^2}{p^2}-3p^2+2(a^2+b^2+c^2)=0\Rightarrow[/tex]
[tex]8(p-a)(p-b)(p-c)-3p^3+2p(a^2+b^2+c^2)=0\Rightarrow 3P^3-16(ab+bc+ca)P+64abc=0\Rightarrow (P-4a)(P-4b)(P-4c)=0\Rightarrow [/tex]

[tex](p-2a)(p-2b)(p-2c)=0.[/tex]

Оттук следва твърдението на задачата.

[insight]

[Мирослав Стоенчев]

Не ми е известна темата за 10 клас от 2007г, но днес ми бе съобщено че същата задача с решение фигурира в румънски сайт още от 2005г. Така, че автора е неизвестен. Тук под автор съм вложил по-широк смисъл, а именно човекът предоставил конкретната задача.