Медицентрове

[Saposto_MM]

O e произволна външна точка за ▲ABC с медицентър G. С G₁, G₂, G₃ означаваме съответно медицентровете на ▲AOB, ▲AOC, ▲BOC, а с M медицентъра на ▲G₁G₂G₃. Да се докаже:
а)O, M и G лежат на една права;
б)М дели OG в отношение 2:1 считано от O.
Аз решавам задачата лесно с вектори, но не съм мислил за чисто геометрично решение.

[Реклама]

[Футуролог]

Отговорът според мен е хомотетия с център О и коефициент 3/2. Много удобно.
Нека А₁, В₁ и С₁ са средите съответно на страните ВС, СА и АВ. Тогва хомотетията изобразява G₁ в С₁, защото ОС₁ е медиана в ▲АВО и ОС₁ = 3/2 ОG₁. Аналогично G₂ се изобразява в В₁ и G₃ се изобразява в С₁. С други думи ▲G₁G₂G₃ се изобразява в ▲А₁В₁С₁, който е съставен от средните отсечки в ▲АВС. Тогава медицентърът М на ▲G₁G₂G₃ се изобразява чрез хомотетията в медицентъра на ▲А₁В₁С₁. Но тъй като ▲А₁В₁С₁ е направен от средните отсечки на ▲АВС, то медицентроете им съвпадат, т.е. G е медицентъра на ▲А₁В₁С₁. Оттук следва, че G e образа на М под действието на хомотетията с център О. Така можем да заключим, че О, М и G лежат на една права и М дели ОG в съотношение 2:1, понеже коефициентът на хомотетия е 3/2.