тъждество

[ганка симеонова]

да се докаже, че:
[tex]\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c) }+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a) }+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b) }=1 [/tex]

[Реклама]

[b1ck0]

Може да съм в грешка, но това не е ли вярно, когато:
[tex]a=b=c=x \ne 0 [/tex]

[Пафнутий]

[simon_kazakov]

Ще напиша каква идея имам за задачата, но понеже вчера имах изпит, днес не ми се занимава много да проверявам дали логиката ми е вярна. За да е тъждество израза
[tex]f(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c) }+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a) }+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b) }=1 [/tex], трябва да се докаже че [tex]f'(x)=0 -> f(x)=const[/tex]. След това, като зaместим с кое и да е x, трябва да получим f(x)=1. В случая най-удобно като че ли ще е да вземем x=a, x=b или x=c. Тогава [tex]f(x) = 1 + 0 +0 = 1[/tex]

[ганка симеонова]

логиката ти е правилна, но производна не е необходима.
използвай, че ако един полином от n-та степен за n+1 произволни стойности на неизвестното приема една и съща стойност, той е константа.
a, b, c вършат работа

[simon_kazakov]

Е, това:

[ганка симеонова]

следва от факта, че един полином от n-та степен(ако не е константа) може да има най- много n корена, т.е. да се анулира най- много n пъти. ако се анулира повече, например n+1 пъти, значи е тъждествено равен на 0.
и съответното следствие:
ако приема за повече от n стойности на неисвестното една и съща стойност, следователно е константа, равна на тази стойност.
ако прехвърлиш 1 от ляво и приведеш под ОЗ ( но ще си поиграеш повечко) ще видиш, че ще получиш стойност 0

[ганка симеонова]

пример. без да разкриваш скобите задай на х три произволно избрани от теб стойности и виж какво ще получиш:
[tex]P= (x-3)^{2}-x(x-6)-8 [/tex]
после разкрий скобите и направи връзка

[simon_kazakov]

[ганка симеонова]

точно така, както ти го написах малко по- горе. важи за всеки полином от произволна степен.
уточнение: ако се анулира, значи е тъждествен с 0. ако просто приема една и съща стойност, значи е тъждествен с тази стойност!

[simon_kazakov]

Забелязах, че и в двете си мнения пишеш анулира... Първоначанло помислих, че имаш предвид нулира, но явно бъркам. Би ли обяснила какво означава полиномът да се анулира.

[ганка симеонова]

да става 0

[Fed]

Ето едно решение, което предполагам няма нищо общо с истината...

Нека [tex]f(x)=\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c) } . 1+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a) } . 1+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b) } . 1 [/tex]

Тогава това представлява интерполационния полином на Лагранж за квадратна ф-я, зададена таблично чрез стойностите си в точките a,b,c и съответно стойностите са 1,1,1.

f(a)=1.
f(b)=1.
f(c)=1.

Тогава квадратната ф-я приема еднаква с-ст в 3 точки, т.е. тя е константата 1.

С това задачата уж е решена.

[ганка симеонова]

мисля, че точно това и ние коментирахме

[Fed]

Е, да, но не го видях в този вид с полинома на Лагранж

[ганка симеонова]

някой май е студент, а???

[Methuselah]

Т'ва още миналата година ни го каза r2d2 в този чуден форум.
Иначе във ФМИ не са ни го казали още.

[ганка симеонова]

нама и да ви го кажат (шегичка)

[Fed]

Дано го кажат.
Все пак Теория на Апроксимациите звучи интересно.

//Апроксимации, не Апроксиматизации!

[ганка симеонова]

не се ли казва теория на апроксимации, не на апроксиматизации?

[Fed]

Е да, все пак не съм го учил още и беше нормално да объркам!
Апроксимации!!!

[ганка симеонова]

специалността ми е "математическо моделиране"...
не че, помня много неща. все пак 13 додини даскалък са си оказали влияние, но поне думата съм я запомнила