 Регистрирайте се
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
Мирослав Стоенчев
Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279
  
гласове: 45
|
 Пуснато на: Sat Apr 19, 2008 3:02 pm Заглавие: Задача |
|
|
| Задача (katrin_vt) Съществува ли естествено число [tex]k,[/tex] такова, че [tex]S(k)+S(k^2)=2009,[/tex] където [tex]S(k)[/tex] е сумата от цифрите на [tex]k.[/tex]
|
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
r2d2
VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
гласове: 179
|
| Пуснато на: Sat Apr 19, 2008 4:45 pm Заглавие: |
|
|
Oтговор: Да!
Решението е на Росен Николов:
| Description: |
|
| Големина на файла: |
4.36 KB |
| Видяна: |
4266 пъти(s) |
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
katrin_vt
Начинаещ
Регистриран на: 21 Mar 2008
Мнения: 22
гласове: 2
|
| Пуснато на: Sat Apr 19, 2008 7:11 pm Заглавие: |
|
|
само един въпрос: как точно реши че числото е от този вид?
иначе решението е супер
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
b1ck0
Напреднал
Регистриран на: 13 Nov 2006
Мнения: 301
Местожителство: Варна
гласове: 2
|
| Пуснато на: Sat Apr 19, 2008 7:28 pm Заглавие: |
|
|
| Само аз ли не виждам решението ?
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
Irrefutable
Напреднал
Регистриран на: 15 Jul 2007
Мнения: 298
Местожителство: София
гласове: 5
|
| Пуснато на: Sat Apr 19, 2008 8:22 pm Заглавие: |
|
|
r2d2, това не е решение. Това е прсото да знаеш отговора и да го кажеш 
Все едно да пусна задача:
Има ли число на което S(k) + S(k^2) = 281 и едновременно S(k+1) + S( (k+1)^2) = 282
И след това да дам отговора: к = 88888888888888891 йее
Малко тъпо се получава, защото 30 минути писах код с големи числа и матрици, за да мога да направя двуично търсене по S(k)+S(k^2). И се оказва че съм си загубил времето
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Sat Apr 19, 2008 8:40 pm Заглавие: |
|
|
kill the fool by silence 
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
katrin_vt
Начинаещ
Регистриран на: 21 Mar 2008
Мнения: 22
гласове: 2
|
| Пуснато на: Fri Apr 25, 2008 9:47 am Заглавие: |
|
|
обаче само S(k) става 2008
нещо не разбирам
?!
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
Irrefutable
Напреднал
Регистриран на: 15 Jul 2007
Мнения: 298
Местожителство: София
гласове: 5
|
| Пуснато на: Fri Apr 25, 2008 11:52 am Заглавие: |
|
|
| Дам, n не е 223 а е 111
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
nedko_g
Начинаещ
Регистриран на: 02 May 2009
Мнения: 2
Местожителство: софия
|
| Пуснато на: Mon May 04, 2009 4:16 pm Заглавие: |
|
|
ХАХ, точно така е... 111 трябва да е... И това е дооста добро решение.. 
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
krainik
Фен на форума
Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697
гласове: 44
|
| Пуснато на: Mon May 04, 2009 5:21 pm Заглавие: |
|
|
| А съществуват ли други числа, удовлетворяващи условието? Това вече мисля, че ще е доста по-сложен въпрос!
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
dgs
Редовен
Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228
гласове: 13
|
| Пуснато на: Thu Jun 04, 2009 11:05 pm Заглавие: |
|
|
| krainik написа: | | А съществуват ли други числа, удовлетворяващи условието? Това вече мисля, че ще е доста по-сложен въпрос! |
Виж какво са писали на друго място за тая задача. Стори ми се интересно, особено второто. Доколкото разбрах, писал го е ученик (от Русе). Доказал е, че от конкретен вид съществуват безброй такива числа. Ако не е объркал нещо де, не съм проверявал в детайли, но пък идеята ми харесва.
Добавка: Накратко идеята му е такава
1. Разглежда редицата a0, a1, a2, a3, ..., където
a0 е фиксирано число (и се търси това число),
ai = ai-1.10k + 1 (k e фиксирано и достатъчно голямо)
2. Показал е, че за достатъчно голямо k:
S(an)+S(an2) = n2+n.(2.a0+1)+a0+a02 и сумата не зависи от k
3. Показал е, че ако
a0 = 4424, то a32 върши работа, т.е.
S(a32)+S(a322)=2009
4. Съответно при същото a0 но за k+1 ще се получи друга редица и друго число a32 и за новото a32 пак ще е изпълнено
S(a32)+S(a322)=2009
5. Т.е., всички числа от вида
a32=4424000..01000..01000..01000..1 (цифровия фрагмент 000...01 се повтаря 32 пъти в десетичния запис на числото, а нулите отпред в тоя фрагмент са k на брой)
изпълняват условието на задачата
6. Тъй като ми беше по-лесно, в описанието на идеята съм написал, че k е фиксирано в "рамките" на една редица, но това не е необходимо условие - може в различните фрагменти да има различен брой нули но тоя брой трябва да е достатъчно голям.
(Copy/Paste)
| Цитат: |
Аз пък се мъча да намеря алгоритъм за намиране на k, стига разбира се k да съществува.
Прави ми впечатление, че
2 единици: 112 = 121
3 единици: 1112 = 12321
...
9 единици: 1111111112 = 12345678987654321
също така прави впечатление, че ако добавим нула между единиците:
2 единици: 01012 = 10201
3 единици: 0101012 = 102030201
...
9 единици: 0101010101010101012 = 102030405060708090807060504030201
10 единици: 010101010101010101012 = 1020304050607080910090807060504030201
11 единици: 01010101010101010101012 = 10203040506070809101110090807060504030201
Другото, което се забелязва е, че
C(k) + C(k2)
не се изменя от добавянето на междинни нули, дори когато добавяме не само "0", ами и "00" или пък "000...0"
Например:
3 единици: 1112 = 12321
3 единици: 0101012 = 01 02 03 02 01
3 единици: 0010010012 = 001 002 003 002 001
3 единици: 0001000100012 = 0001 0002 0003 0002 0001
Без да се опитвам да го доказвам за момента, преполагам, че тия хубави симетрии в квадратите се запазват за по-голям брой единици при повече на брой "междинни нули".
Например:
100 единици: 001 001 001 00 ... 1 0012 = 001 002 003 004 ... 099 100 099 ... 001
101 единици: 001 001 001 00 ... 1 001 0012 = 001 002 003 004 ... 099 100 101 100 099 ... 001
И ако не съм сбъркал в сметките, получавам
C(k) + C(k2) = 2010
при k = 001 001 001 001 ... 001 (общо 130 пъти "001")
като предполагам, че
k2 = 001 002 003 ... 129 130 129 ... 002 001
Това разбира се не е решение. Стори ми се интересен факт (по-точно - интересно предположение) и затова го написах тук.
|
| Цитат: | Ще взема и аз да напиша една примерна стратегия, която ми хрумна, докато тролеясвах вчера (като идея е близка до предишната, но с повече реални сметки в търсене на числото):
Почваме от някакво число X и постепенно го разширяваме по алгоритъм, с който лесно можем да сметнем колко се добавя като сума на цифрите за квадрата му - това според мен може да стане като квадратът от неразширеното число се запази в първите цифри на новия квадрат в чист вид. Това става с добавяне на достатъчно нули и още една цифра след числото X(аз съм избрал 1, макар че може да се направи подобен алгоритъм и за 2, а може и за другите цифри май, ама голям зор).
Пример:
X00..1 : новото ни число на съответната стъпка
(X00..1)^2=(X00..+1)^2=[X*X]00..00..+2*X00..+1
Ясно е, че за произволно X може да се повтори алгоритъма, като броят нули, които слагаме след числото трябва да е достатъчен , за да няма пренос от 2*X00.. към частта на [X*X], защото става мазало, т.е. разрядите, които се заемат от 2*X трябва да са по-малко или равно на тези, заети от 00.. (00.. е конкретна стойност във всеки случай на разширяването и се определя от големината на предишното X)
Пример ако първоначалното ни X е 1
1 1
11 121 = [1*1]00+2*[1]0+1
1101 1212201 = [11*11]*10000+2*[11]00+1
Разбира се X може да не е 1,а всяко едно число, но засега, за да са по-прости сметките (може после да направя и допълнение, ако имам време, а ако някой реши може също) приемаме, че X е число с произволен брой цифри, но всяка цифра е по-малка или равна на 4, за да няма разни преноси в 2*X вътре в самото число, защото работата става дебела.
Ето какво става със сумата на цифрите на числото след всяка една стъпка (нека сумата на цифрите на първоначалното X е A, а сумата на цифрите на първоначалния квадрат е B).
A B
A+1 B+2*A+1
A+2 (B+2*A+1)+2*(A+1)+1=B+4*A+4
A+3 (B+4*A+4)+2*(A+2)+1=B+6*A+9
...
A+n B+2*n*A+n^2
т.е. на n-тата стъпка ще имаме общ сбор:
n^2+n*(2*A+1)+A+B
Нека S е, числото което искаме да получим (2008 или 2009)
n^2+n*(2*A+1)+A+B-S=0
n1,2= (-2*A-1 +-#(4*A^2+4*A+1-4*A-4*B+4*S))/2
//#- корен квадратен
като се има предвид, че n трябва да е по-голямо или равно на 0 и A>0 следва, че:
n=(-2*A-1+#(4*(А^2-B+S)+1))/2
коренът, ако е цяло число ще е на нечетно, оттук следва, че сборът в скобите като цяло ще се дели на 2 и нямаме проблем.
Въпросът е кога, 4*L+1 е точен квадрат
След леки експерименти с Ексел (а не бяха нужни) се оказа, че L=m^2+-m, защото 4*m^2+-4*m+1= (2*m+-1)^2
следва че:
A^2-B+S=m*(m+1)
S=m*(m+1)-A^2+B
Ей това уравнение в момента ме гложди: защото при А-произволно число, то за B не е еднозначен отговорът, защото X може да бъде записано по много начини и съответно квадратът му да има различна сума на цифрите.
Ясно е, че и това не е решение на задачата, но ако някой открие такива числа (с пробване все пак май ще стане) ще имаме отговор и за самото число "к", което ще кефи.
//Edit Открито 2007, при X=144, n=36
//Още ограниения за S: S>=A+B, за да бъде n>=0
//Edit Мисля, че открих число за 2009!!!! (йес)
Числото, с което трябва да започнем алгоритъма X=4424
т.е. числото е от вида EDIT!!! 4424000100000001.......... - съжалявам за дребната грешка, не че е от значение де!!!!
установих, че a^2-b се дели на 9 винаги (или поне за числата, които пробвах) и оттам пробвах най близкото m, за което m*(m+1) дава същия остатък 2 при деление на 9 (2009+9*n дава остатък 2) и трябваше да си поиграя с ексел малко, докато с разместване открия действаща комбинация
За 2008 не става, защото m*(m+1) не дава остатък 1 никога |
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
