Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача


 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Sat Apr 19, 2008 3:02 pm    Заглавие: Задача

Задача (katrin_vt) Съществува ли естествено число [tex]k,[/tex] такова, че [tex]S(k)+S(k^2)=2009,[/tex] където [tex]S(k)[/tex] е сумата от цифрите на [tex]k.[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Apr 19, 2008 4:45 pm    Заглавие:

Oтговор: Да!
Решението е на Росен Николов:



rosnik.gif
 Description:
 Големина на файла:  4.36 KB
 Видяна:  3228 пъти(s)

rosnik.gif


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
katrin_vt
Начинаещ


Регистриран на: 21 Mar 2008
Мнения: 22

Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Sat Apr 19, 2008 7:11 pm    Заглавие:

само един въпрос: как точно реши че числото е от този вид?
иначе решението е супер
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
b1ck0
Напреднал


Регистриран на: 13 Nov 2006
Мнения: 301
Местожителство: Варна
Репутация: 35.6Репутация: 35.6Репутация: 35.6Репутация: 35.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Sat Apr 19, 2008 7:28 pm    Заглавие:

Само аз ли не виждам решението ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Irrefutable
Напреднал


Регистриран на: 15 Jul 2007
Мнения: 298
Местожителство: София
Репутация: 28.8Репутация: 28.8Репутация: 28.8
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat Apr 19, 2008 8:22 pm    Заглавие:

r2d2, това не е решение. Това е прсото да знаеш отговора и да го кажеш Wink
Все едно да пусна задача:
Има ли число на което S(k) + S(k^2) = 281 и едновременно S(k+1) + S( (k+1)^2) = 282

И след това да дам отговора: к = 88888888888888891 йее Wink

Малко тъпо се получава, защото 30 минути писах код с големи числа и матрици, за да мога да направя двуично търсене по S(k)+S(k^2). И се оказва че съм си загубил времето Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sat Apr 19, 2008 8:40 pm    Заглавие:

kill the fool by silence Evil or Very Mad
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
katrin_vt
Начинаещ


Регистриран на: 21 Mar 2008
Мнения: 22

Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6Репутация: 7.6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Fri Apr 25, 2008 9:47 am    Заглавие:

обаче само S(k) става 2008
нещо не разбирам
?!
Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Irrefutable
Напреднал


Регистриран на: 15 Jul 2007
Мнения: 298
Местожителство: София
Репутация: 28.8Репутация: 28.8Репутация: 28.8
гласове: 5

МнениеПуснато на: Fri Apr 25, 2008 11:52 am    Заглавие:

Дам, n не е 223 а е 111
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
nedko_g
Начинаещ


Регистриран на: 02 May 2009
Мнения: 2
Местожителство: софия

МнениеПуснато на: Mon May 04, 2009 4:16 pm    Заглавие:

ХАХ, точно така е... 111 трябва да е... И това е дооста добро решение.. Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Mon May 04, 2009 5:21 pm    Заглавие:

А съществуват ли други числа, удовлетворяващи условието? Това вече мисля, че ще е доста по-сложен въпрос!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dgs
Редовен


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 228

Репутация: 25Репутация: 25Репутация: 25
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Jun 04, 2009 11:05 pm    Заглавие:

krainik написа:
А съществуват ли други числа, удовлетворяващи условието? Това вече мисля, че ще е доста по-сложен въпрос!

Виж какво са писали на друго място за тая задача. Стори ми се интересно, особено второто. Доколкото разбрах, писал го е ученик (от Русе). Доказал е, че от конкретен вид съществуват безброй такива числа. Ако не е объркал нещо де, не съм проверявал в детайли, но пък идеята ми харесва.

Добавка: Накратко идеята му е такава

1. Разглежда редицата a0, a1, a2, a3, ..., където
a0 е фиксирано число (и се търси това число),
ai = ai-1.10k + 1 (k e фиксирано и достатъчно голямо)

2. Показал е, че за достатъчно голямо k:
S(an)+S(an2) = n2+n.(2.a0+1)+a0+a02 и сумата не зависи от k

3. Показал е, че ако
a0 = 4424, то a32 върши работа, т.е.
S(a32)+S(a322)=2009

4. Съответно при същото a0 но за k+1 ще се получи друга редица и друго число a32 и за новото a32 пак ще е изпълнено
S(a32)+S(a322)=2009

5. Т.е., всички числа от вида
a32=4424000..01000..01000..01000..1 (цифровия фрагмент 000...01 се повтаря 32 пъти в десетичния запис на числото, а нулите отпред в тоя фрагмент са k на брой)
изпълняват условието на задачата

6. Тъй като ми беше по-лесно, в описанието на идеята съм написал, че k е фиксирано в "рамките" на една редица, но това не е необходимо условие - може в различните фрагменти да има различен брой нули но тоя брой трябва да е достатъчно голям.

(Copy/Paste)

Цитат:

Аз пък се мъча да намеря алгоритъм за намиране на k, стига разбира се k да съществува.
Прави ми впечатление, че
2 единици: 112 = 121
3 единици: 1112 = 12321
...
9 единици: 1111111112 = 12345678987654321

също така прави впечатление, че ако добавим нула между единиците:
2 единици: 01012 = 10201
3 единици: 0101012 = 102030201
...
9 единици: 0101010101010101012 = 102030405060708090807060504030201
10 единици: 010101010101010101012 = 1020304050607080910090807060504030201
11 единици: 01010101010101010101012 = 10203040506070809101110090807060504030201

Другото, което се забелязва е, че
C(k) + C(k2)
не се изменя от добавянето на междинни нули, дори когато добавяме не само "0", ами и "00" или пък "000...0"
Например:
3 единици: 1112 = 12321
3 единици: 0101012 = 01 02 03 02 01
3 единици: 0010010012 = 001 002 003 002 001
3 единици: 0001000100012 = 0001 0002 0003 0002 0001

Без да се опитвам да го доказвам за момента, преполагам, че тия хубави симетрии в квадратите се запазват за по-голям брой единици при повече на брой "междинни нули".
Например:
100 единици: 001 001 001 00 ... 1 0012 = 001 002 003 004 ... 099 100 099 ... 001
101 единици: 001 001 001 00 ... 1 001 0012 = 001 002 003 004 ... 099 100 101 100 099 ... 001

И ако не съм сбъркал в сметките, получавам
C(k) + C(k2) = 2010
при k = 001 001 001 001 ... 001 (общо 130 пъти "001")
като предполагам, че
k2 = 001 002 003 ... 129 130 129 ... 002 001

Това разбира се не е решение. Стори ми се интересен факт (по-точно - интересно предположение) и затова го написах тук.


Цитат:
Ще взема и аз да напиша една примерна стратегия, която ми хрумна, докато тролеясвах вчера (като идея е близка до предишната, но с повече реални сметки в търсене на числото):
Почваме от някакво число X и постепенно го разширяваме по алгоритъм, с който лесно можем да сметнем колко се добавя като сума на цифрите за квадрата му - това според мен може да стане като квадратът от неразширеното число се запази в първите цифри на новия квадрат в чист вид. Това става с добавяне на достатъчно нули и още една цифра след числото X(аз съм избрал 1, макар че може да се направи подобен алгоритъм и за 2, а може и за другите цифри май, ама голям зор).

Пример:
X00..1 : новото ни число на съответната стъпка

(X00..1)^2=(X00..+1)^2=[X*X]00..00..+2*X00..+1

Ясно е, че за произволно X може да се повтори алгоритъма, като броят нули, които слагаме след числото трябва да е достатъчен , за да няма пренос от 2*X00.. към частта на [X*X], защото става мазало, т.е. разрядите, които се заемат от 2*X трябва да са по-малко или равно на тези, заети от 00.. (00.. е конкретна стойност във всеки случай на разширяването и се определя от големината на предишното X)


Пример ако първоначалното ни X е 1

1 1
11 121 = [1*1]00+2*[1]0+1
1101 1212201 = [11*11]*10000+2*[11]00+1

Разбира се X може да не е 1,а всяко едно число, но засега, за да са по-прости сметките (може после да направя и допълнение, ако имам време, а ако някой реши може също) приемаме, че X е число с произволен брой цифри, но всяка цифра е по-малка или равна на 4, за да няма разни преноси в 2*X вътре в самото число, защото работата става дебела.

Ето какво става със сумата на цифрите на числото след всяка една стъпка (нека сумата на цифрите на първоначалното X е A, а сумата на цифрите на първоначалния квадрат е B).

A B
A+1 B+2*A+1
A+2 (B+2*A+1)+2*(A+1)+1=B+4*A+4
A+3 (B+4*A+4)+2*(A+2)+1=B+6*A+9
...
A+n B+2*n*A+n^2

т.е. на n-тата стъпка ще имаме общ сбор:
n^2+n*(2*A+1)+A+B

Нека S е, числото което искаме да получим (2008 или 2009)

n^2+n*(2*A+1)+A+B-S=0

n1,2= (-2*A-1 +-#(4*A^2+4*A+1-4*A-4*B+4*S))/2

//#- корен квадратен
като се има предвид, че n трябва да е по-голямо или равно на 0 и A>0 следва, че:

n=(-2*A-1+#(4*(А^2-B+S)+1))/2

коренът, ако е цяло число ще е на нечетно, оттук следва, че сборът в скобите като цяло ще се дели на 2 и нямаме проблем.

Въпросът е кога, 4*L+1 е точен квадрат
След леки експерименти с Ексел (а не бяха нужни) се оказа, че L=m^2+-m, защото 4*m^2+-4*m+1= (2*m+-1)^2

следва че:

A^2-B+S=m*(m+1)

S=m*(m+1)-A^2+B

Ей това уравнение в момента ме гложди: защото при А-произволно число, то за B не е еднозначен отговорът, защото X може да бъде записано по много начини и съответно квадратът му да има различна сума на цифрите.
Ясно е, че и това не е решение на задачата, но ако някой открие такива числа (с пробване все пак май ще стане) ще имаме отговор и за самото число "к", което ще кефи.

//Edit Открито 2007, при X=144, n=36
//Още ограниения за S: S>=A+B, за да бъде n>=0


//Edit Мисля, че открих число за 2009!!!! (йес)

Числото, с което трябва да започнем алгоритъма X=4424
т.е. числото е от вида EDIT!!! 4424000100000001.......... - съжалявам за дребната грешка, не че е от значение де!!!!

установих, че a^2-b се дели на 9 винаги (или поне за числата, които пробвах) и оттам пробвах най близкото m, за което m*(m+1) дава същия остатък 2 при деление на 9 (2009+9*n дава остатък 2) и трябваше да си поиграя с ексел малко, докато с разместване открия действаща комбинация

За 2008 не става, защото m*(m+1) не дава остатък 1 никога
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.