функция на Дирихле

[Infernum]

Ква задачка набараах, айде някой да я реши

Докажете,че функцията на Дирихле

[tex]f(x)=\{0 \ , \ x \in \mathbb{I} \\ 1 \ , \ x\in \mathbb {Q}[/tex]

може да се получи, като граница на редица от непрекъснати функции по следния начин

[tex]f(x)=\lim_{n \to \infty }\lim_{m \to \infty}[\cos(2\pi n!x)]^m[/tex]

Може ли да се получи тази функция, като граница на редица от непрекъснати функции, посредством еднократен граничен преход?

Туй ако някой го реши и обясни, шапка му свалям...

[Реклама]

[Baronov]

Първото е очевидно. Първо ако х е ирационално, тогава каквото и да е n, вътрешната граница е 0. Ако пък х е рационално, за n по-голямо от знаменателя на х имаме, че cos(2πn!x)=1, откъдето следва твърдението.
За другото интуицията е, че не може, ама знае ли човек. Ако може, тогава трябва редицата да не е равномерно сходяща. Освен това редица от интегруеми по риман функции може ли да клони към неинтегруема по риман функция? Предполагам, че става въпрос за поточкова сходимост, щото иначе е очевидно, че не може.