2 тригонометрични уравнения(sin18=.... cos18=.....)

[rytimid]

да се докаже, че

[tex] sin 18^\circ =\frac{\sqrt{5} - 1}{4}[/tex]

[tex] cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}[/tex]

[Реклама]

[ганка симеонова]

ще тръгнем оттам, че ако два ъгъла имат сбор от 90 градуса, синусът на единия е косинус, за другия.
[tex] cos36^\circ =sin54^\circ [/tex]

[tex] cos(2.18^\circ )=sin(3.18^\circ ) [/tex]
за функцията в ляво ще приложа формулата за удвоен ъгъл, а за тази в дясно- за утроен:

[tex] 1-2sin^{2}18^\circ =3sin18^\circ -4sin^{3}18^\circ [/tex]

полагаме [tex] sin18^\circ =t\in (0;1) [/tex] ирешаваме полученото уравнение:
[tex] 4t^{3}-2t^{2}-3t+1=0 [/tex]

по схемата на хорнер то се разпада на две уравнения:
[tex] t-1=0 =>t=1[/tex] , но това не е решение
[tex] 4t^{2}+2t-1=0 => t_{1}=\frac{-1-\sqrt{5} }{4 }\notin (0;1) [/tex]
[tex] t_{2}=\frac{\sqrt{5}-1 }{4 } \in (0;1)[/tex]=> е решение. тогава
[tex] sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1 }{4 } [/tex]
за да намериш косинуса приложи основното тригонометрично тъждество

[ганка симеонова]

втори начин. следи чертежа. разглеждам равнобедрен триъгълник с ъгли при основата 72 градуса и ъгъл при върха 36 градуса.
( забележка: на чертежа ъгълът при върха С е 36 градуса, не е 18 )
построявам ъглополовящата на А. тогава:
[tex] \Delta BLA\approx \Delta ABC =>AL=a [/tex]
[tex] \Delta ACL[/tex] равнобедрен => [tex] AL=CL=a =>BL=b-a [/tex]
прилагаме свойство на ъглополовящата =>
[tex] \frac{CL}{BL }=\frac{AC}{AB }=>\frac{a}{b-a }=\frac{b}{a } =>[/tex]
[tex] a^{2}+ab-b^{2}=0 [/tex] делим двете страни на квадрата на b, полагаме [tex] \frac{a}{b }=t [/tex] и получаваме квадратно уравнение:
[tex] t^{2}+t-1=0 => t_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2 }>0 [/tex] (1)
прилагаме синусова теорема за [tex] \Delta ACL =>[/tex]

[tex] \frac{LC}{AC }=\frac{sin36^\circ }{sin108^\circ } =>\frac{a}{b }=\frac{2sin18^\circ cos18^\circ }{cos18^\circ }=2sin18^\circ [/tex]
=> [tex] sin18^\circ =\frac{a}{2b }= \frac{\sqrt{5}-1}{4 } [/tex]

[Пафнутий]

Не трябва ли [tex]\angle ACB=36^\circ [/tex]
ПП Извинявам се

[ганка симеонова]

[MuTaKa]

Мислех, че темата е избистрена през 2006 г... http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=183


И както каза колежката Симеонова - косинуса се намира, използвайки основното тригонометрично тъждество!