Пак уравнение над средната трудност

[Garoll]

[tex]x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+\sqrt{x^{2}+2x+10} =2[/tex]

[Реклама]

[soldier_vl]

Като се изследва корена се вижда че е по-голям или равен на 3
И сега ще се опитаме да докажем че [tex]x^4+4x^3+6x^2+4x\ge -1[/tex] <=> [tex](x+1)^4\ge 0[/tex] равенството се постига само за х=-1 и това е решение на неравенството.
Май не съм го написал много разбираемо, но се надявам да зацепиш

[Garoll]

Аз знам как се решава и това е верният отговор.Пускам ги , за да се помъчите малко и да има по интересни задачи от всякакъв вид във форума.

[Pinetop Smith]

ДС е вс. х.

[tex]x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x = (x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2)[/tex]. Полагаме [tex]x^2 + 2x = a[/tex], получаваме уравнението

[tex]a(a+2) + \sqrt{a+10} = 2[/tex]

Полагаме [tex]a + 10 = b^2[/tex]. Очевидно [tex]a \ge -1[/tex], откъдето [tex]b^2 \ge 9[/tex] и значи [tex]b \ge 3[/tex] или [tex]b \le -3[/tex]. Получаваме уравнението

[tex]b^4 - 18b^2 + |b| + 78 = 0[/tex]

1) Ако [tex]b \ge 3[/tex], у-ието е екв. на

[tex](b-3)(b^3 + 3b^2 - 9b - 26) = 0[/tex]. Но [tex]b^3 + 3b^2 - 9b - 26 = b^3 + 3b^2 - 9b - 27 + 1 = (b-3)(b+3)^2 + 1 > 0 (b \ge 3)[/tex], откъдето единствено решение е b = 3. Оттук а = -1 и х = -1.

2) Ако [tex]b \le -3[/tex], у-ието е екв. на
[tex](b+3)(b^3 - 3b^2 - 9b + 26) = 0[/tex]. Но [tex]b^3 - 3b^2 - 9b + 26 = b^3 - 3b^2 - 9b + 27 - 1 = (b-3)^2(b+3) - 1 < 0[/tex], откъдето единствено решение в случая е b = -3. Тогава отново х = -1.

Надявам се така да става.

[gdimkov]

[tex](x+1)^4+\sqrt{x^2+2x+10} =3[/tex]
Отляво стоят едно положително и едно неотрицателно събираеми. Минималната стойност на подкоренната величина е 9. В такъв случай равенство ще имаме само тогава, когато първото събираемо е нула. Следователно х=-1. За всяка друга стойност на х лявата страна е по-голяма от 3.