сума от цифри

[katrin_vt]

да се намери число k ако такова съществува, че при означаване на сумата от цифрите му с S(k) :
а) S(k) + S(k²) = 2008
б) S(k) + S(k²) = 2009








Идеите ми са че трябва да има някаква зависимост м/у сбора на цифрите на число и сбора от цифрите на квадрата му. Това, което изведох е, че при число в чийто запис участва някакво кол-во еденици и 0, 1 или 2 двойки е вярно, че
S(k²) = (S(k))²
т.е. 2008 = S(k).(S(k)+1) или 2009 = S(k).(S(k)+1)
Но и за двата случая това е неизпълнимо понеже не можем да представим нито 2008 нито 2009 като произведение на две последователни цели числа.

Също така е ясно че числото k НЕ е кратно на 3,6 или 9, защото ако беше, S(k) и S(k²) щяха да се делят на 3, 6 или 9 и техният сбор също щеше да има това свойство но 2008 и 2009 не се делят на 3.


Друго нищичко не измислих, а пък е много важно да я реша.
Помагайте плс

[Реклама]

[r2d2]

1. Можеш ли да докажеш, че S(k) i S(k^2) дават един и същ остатък при делене на 3? И какво следва от това?

[katrin_vt]

амиии..........незнам
за остатъка с 3 - ами то си следва от признака за деление на 3, не съм мн сигурна де....ама и с няколко проби се вижда
ама каква е ползата?

[katrin_vt]

мерси за идеята с остатъците...успях да докарам доказателството и то даже условието не изисква да се посочат кои конкретни числа удовлетворяват условието. по-късно ще поместя цялото решение. отговорът и за двете подточки е че има такова число

[Мирослав Стоенчев]

Нека [tex]k=a_{0}10^n+a_{1}10^{n-1}+...+a_{n-1}10+a_n.\ [/tex] Тогава [tex]k\equiv a_0+a_1+...+a_n\equiv S(k)(\bmod 3),\ k^2\equiv S(k^2)(\bmod 3)[/tex]

Значи [tex]\ S(k)+S(k^2)\equiv k+k^2\equiv 0,2(\bmod 3).[/tex] Но [tex]2008\equiv 1(\bmod 3)\Rightarrow S(k)+S(k^2)\ne 2008.[/tex]


Да допуснем, че [tex]S(k)+S(k^2)=2009[/tex]

От друга страна [tex]S(k)\equiv a_n(\bmod 5),\ S(k^2)\equiv a_{n}^2(\bmod 5)\Rightarrow -1\equiv 2009\equiv S(k)+S(k^2)\equiv a_n+a_{n}^{2}(\bmod 5)\Rightarrow a_{n}^2+a_n+1\equiv 0(\bmod 5),[/tex] което е невъзможно.

[r2d2]

S(33)=6
S(33^2)=S(1089)=18
S(33)+S(33^2)=24≡-1 mod 5

[Мирослав Стоенчев]

Шокираща глупост. Явно съм имал в предвид [tex]k\equiv a_n(\bmod 5),\ \ k^2\equiv a_{n}^2(\bmod 5),[/tex] което няма никакво отношение към задачата.

[katrin_vt]

благодаря на всички които се включиха в решаването
моето решение го обосновах на идеята за остатъците при деление с 3 и също получих че при 2009 има такова число
ще разгледам и вашите решения въпреки че на пръв поглед изглеждат доста шокиращи (все пак съм на ниво 6ти клас... )
оказа се че задачата е избрана за задачата на седмицата и я има ето тук също
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=4868
даже човекът е показал кое точно е числото (това никога не бих го измислила и много се радвах да видя загадъчното число и ми се струва че човекът го е решил с такава лекота....)
браво на всички
и като изнамеря нещо още по трудно ще пиша пак
и все пак, така и не проумях кой я е дал тая задача за ШЕСТИ клас